2新潟大学 2018年 数学 第2問解答・解説

（1）袋Aから取り出す3個の組合せは $\displaystyle \binom73=35$ 通り。赤1個・白2個の確率は $$\displaystyle \frac{\binom21\binom52}{\binom73}=\frac{20}{35}=\frac47,$$ 白3個の確率は $$\displaystyle \frac{\binom50\binom53}{\binom73}=\frac{10}{35}=\frac27.$$ 残る組成である赤2個・白1個の確率は $\displaystyle \binom22\binom51/\binom73=1/7$。

（2）袋Aから移った白玉の個数に応じて場合分けする。白3個が移る確率は $2/7$ で、そのとき袋Bは赤2個・白3個だから、袋Bから2個とも白を取る確率は $\displaystyle \binom32/\binom52=3/10$。赤1個・白2個が移る確率は $4/7$ で、そのとき袋Bは赤3個・白2個だから、2個とも白を取る確率は $\displaystyle \binom22/\binom52=1/10$。赤2個・白1個が移る場合は袋Bに白玉が1個しかなく、2個とも白となることはない。したがって $$\displaystyle P(\text{Bから白2個})=\frac27\cdot\frac3{10}+\frac47\cdot\frac1{10}=\frac17.$$

（3）袋Bから白2個を取ったあとに白玉が残るのは、移った白玉が3個だった場合に限る。この場合の同時確率は $(2/7)(3/10)=3/35$。よって条件付き確率は $$\displaystyle \frac{P(\text{移った白玉3個かつBから白2個})}{P(\text{Bから白2個})}=\frac{3/35}{1/7}=\frac35.$$

袋Aからの移動後の組成で場合分けし、袋Bの同時抽出確率を全確率と条件付き確率で計算する。