2東北大学 2017年 数学 第2問解答・解説

各人の手札は $\displaystyle \binom{6}{3}=20$ 通りで、両者の選択は独立である。

(1) 得点が $3$ となる手札を数える。$0$ を含むと残り2枚の和が $3$ なので $\{0,1,2\}$ の1通り。$0$ を含まないと3枚の和が $9$ なので $\{1,3,5\},\{2,3,4\}$ の2通り。従って双方が3点となる組は $3^2$ 通り、そのうち双方とも $0$ を引かない組は $2^2$ 通りであり、求める確率は $$\displaystyle \frac{3^2-2^2}{20^2}=\frac{1}{80}.$$

(2) 得点ごとの手札数 $n_s$ は $$\displaystyle \begin{array}{c|rrrrrrrrrrrr} s&2&\frac73&\frac83&3&\frac{10}3&\frac{11}3&4&5&6&7&8&9\\\hline n_s&1&1&2&3&2&1&2&2&2&2&1&1 \end{array}$$ である。同点となる順序付き手札組は $$\displaystyle \sum\limits _s n_s^2=1^2+1^2+2^2+3^2+2^2+1^2+2^2+2^2+2^2+2^2+1^2+1^2=38$$ 通り。両者の分布は同じなので $A>B$ となる組は $(20^2-38)/2=181$ 通り。

$A$ の得点が整数でない場合は $7/3,8/3,10/3,11/3$ に限られる。各得点の手札数は $1,2,2,1$、それぞれについて $B$ の得点が小さい手札数は $1,2,7,9$ なので、$A>B$ かつ $A$ の得点が非整数である組は $$1\cdot1+2\cdot2+2\cdot7+1\cdot9=28$$ 通り。従って条件付き確率は $$\displaystyle \frac{28}{181}.$$