3東北大学 2017年 数学 第3問解答・解説

$a,b,c$ はそれぞれ二次方程式の係数なので順序を区別して数える。

(1) 判別式を $\Delta=b^2-4ac$ とする。係数は整数だから、二次方程式が有理数解をもつことと $\Delta=d^2$ となる整数 $d\ge0$ があることは同値である。従って $ac=(b^2-d^2)/4$ を調べればよい。$1\le a,b,c\le7$ と相異条件を満たす順序つきの $(a,c)$ の個数を、固定した $b$ ごとに数えると $$\begin{array}{c|c} b&ac\text{ の候補（その積を与える有効な順序つき }(a,c)\text{ の個数）}\\ \hline 1&\text{なし }(0)\\ 2&1\ (0)\\ 3&2\ (2)\\ 4&3\ (2),\ 4\ (0)\\ 5&4\ (2),\ 6\ (4)\\ 6&5\ (2),\ 8\ (2),\ 9\ (0)\\ 7&6\ (4),\ 10\ (2),\ 12\ (4) \end{array}$$ となる。例えば $b=7, ac=12$ では $(a,c)=(2,6),(6,2),(3,4),(4,3)$ の4通りである。各行の個数の和は $0,0,2,2,6,4,10$ なので、総数は $$0+0+2+2+6+4+10=24.$$

(2) 係数は正なので、整数解は負である。整数解を $-k$（$k\ge1$）とすると $$ak^2-bk+c=0,\qquad c=k(b-ak).$$ 従って $k\mid c$、また $ak<b\le7$ より $1\le k\le6$。$k=1$ では $b=a+c\le7$ で、$a,c$ は異なる正整数である。和 $a+c=3,4,5,6,7$ ごとの順序つき対の個数は $2,2,4,4,6$ だから18組となる。$k=2,3,4,5,6$ で条件を満たす組を式 $c=k(b-ak)$ から列挙すると $$\begin{array}{c|l|c} k&(a,b,c)&\text{個数}\\ \hline 1&b=a+c,\ a\ne c,\ a+c\le7&18\\ 2&(1,3,2),(1,5,6),(2,6,4),(2,7,6),(3,7,2)&5\\ 3&(1,4,3),(1,5,6),(2,7,3)&3\\ 4&(1,5,4)&1\\ 5&(1,6,5)&1\\ 6&(1,7,6)&1 \end{array}$$ であり、根の出現回数は合計 $18+5+3+1+1+1=29$ である。

異なる二つの整数根 $-k,-\ell$（$k<\ell$）をもつとき、Vietaの関係から $b=a(k+\ell),\ c=ak\ell$。係数が1以上7以下であることを満たす重複組は $$(1,3,2),(1,4,3),(1,5,4),(1,6,5),(1,7,6),(1,5,6),(2,6,4)$$ の7組である（$a=1$ では $(k,\ell)=(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3)$、$a=2$ では $(1,2)$、$a\ge3$ は $b\ge9$ となる）。二次方程式は高々二つの根をもつから、この重複を一度ずつ除けばよく、求める個数は $29-7=22$ 組である。