4東北大学 2017年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }\overrightarrow{AB}=\mathbf b,\ \overrightarrow{AC}=\mathbf c\text{ とおく。内分比より }\overrightarrow{AD}=\frac{s}{s+1}\mathbf b,\quad \overrightarrow{AE}=\frac{3\mathbf b+s\mathbf c}{s+3}.\text{ FはAE上にあるので }\overrightarrow{AF}=t(3\mathbf b+s\mathbf c)\text{ とおける。一方、FはCD上にもあるから、ある }u\text{ に対して }\overrightarrow{AF}=u\frac{s}{s+1}\mathbf b+(1-u)\mathbf c.\text{ 係数を比べると }3t=\frac{us}{s+1},\ st=1-u.\text{ よって }3t=\frac{s}{s+1}(1-st),\text{ したがって }t=\frac{s}{s^2+3s+3}.\text{ ゆえに }\alpha=3t=\frac{3s}{s^2+3s+3},\quad \beta=st=\frac{s^2}{s^2+3s+3}.\\[4pt] \text{(2) }h=|AB|\sin\angle BAC\text{ とおくと、}h\text{ はBから直線ACまでの距離で一定である。}\overrightarrow{AF}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\text{ において、}\overrightarrow{AC}\text{ の項はACに平行だから、}FG=\alpha h.\text{ したがって }FG\text{ は }\alpha(s)=\frac{3s}{s^2+3s+3}\text{ が最大のとき最大となる。} \quad \alpha'(s)=\frac{3(s^2+3s+3)-3s(2s+3)}{(s^2+3s+3)^2}=\frac{3(3-s^2)}{(s^2+3s+3)^2}.\text{ 分母は正であるから、}0<s<\sqrt3\text{ で増加し、}s>\sqrt3\text{ で減少する。よって最大となるのは }s=\sqrt3.$$