1東北大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) 直線 $l$ が $(-2,0)$ を通るので $b=2a$ である。このとき、$x\le-2$ または $x\ge2$ の部分での交点条件と、$-2\le x\le2$ の部分での交点条件は、それぞれ $$(x+2)(x-a-2)=0,\qquad (x+2)(x+a-2)=0$$ となる。いずれも $x=-2$ は交点である。さらに $0<a<4$ なら $x=a+2>2$ が外側の放物線との交点、$x=2-a$ は $-2<x<2$ を満たし、これが中央の放物線との交点となるので、異なる共有点は $x=-2,\ a+2,\ 2-a$ の3つである。逆に、外側の追加根 $a+2$ がその定義域に入り、中央の追加根 $2-a$ が $-2\le2-a\le2$ を満たす場合を調べると、両方が異なる点として有効になるのは $0<a<4$ のときに限る。端点では根が重なり、範囲外では追加根が該当部分の定義域から外れる。したがって求める条件は $b=2a,\ 0<a<4$ である。

(2) $G(x)=|x^2-4|-(ax+b)$ とおくと $G(x)\to+\infty$ は $x\to\pm\infty$ のいずれでも成り立つ。交点が折れ曲がり点 $x=\pm2$ にも接点にもない場合、すべての交点で符号が変わるため、交点の個数は偶数である。よって交点がちょうど3個となるには、直線が折れ曲がり点を通るか、3つの滑らかな部分のいずれかに接する必要がある。

外側の放物線 $y=x^2-4$ に $x=t$ で接する直線は $a=2t,\ b=-t^2-4$（$|t|\ge2$）である。この直線は $x=\pm2$ での値がそれぞれ $-(t\pm2)^2\le0$ なので、中央部分の曲線とは接点以外で交わらない。また外側の放物線との交点方程式は $(x-t)^2=0$ であり、共有点は1つだけである。

中央の放物線 $y=4-x^2$ に $x=t$ で接する直線は $\displaystyle a=-2t,\ b=4+t^2=4+\frac{a^2}{4}$（$|a|\le4$）である。$|a|<4$ なら中央部分では接点 $\displaystyle x=-\frac a2$ だけで交わる。一方、外側の交点方程式は $$\displaystyle x^2-ax-8-\frac{a^2}{4}=0$$ であり、左辺は $x=-2$ と $x=2$ の両方で負となる。上に開く二次式なので、2つの根はそれぞれ $-2$ より左、$2$ より右にあり、外側に交点が1つずつある。よってこの場合にちょうど3つとなる。$|a|=4$ では接点が折れ曲がり点と重なり、交点は2つとなるため除く。したがって接線から得られる部分は $$\displaystyle b=4+\frac{a^2}{4},\qquad -4<a<4$$ である。

折れ曲がり点 $(-2,0)$ を通る場合は $b=2a$ であり、(1)よりちょうど3点となる範囲は $0<a<4$ である。折れ曲がり点 $(2,0)$ を通る場合は $b=-2a$ である。このとき外側と中央部分の交点方程式は $$(x-2)(x-a+2)=0,\qquad (x-2)(x+a+2)=0$$ であり、$-4<a<0$ のときに限り追加根 $a-2$ は $a-2<-2$、追加根 $-a-2$ は $-2<-a-2<2$ を満たし、別々の交点を与える。したがって、ab平面上の軌跡は、次のいずれかの条件を満たす点全体である。 $$\displaystyle \begin{gathered}-4<a<4,\quad b=4+\frac{a^2}{4},\\0<a<4,\quad b=2a,\\-4<a<0,\quad b=-2a.\end{gathered}$$ 図示すると、頂点 $(0,4)$ をもち端点 $(-4,8),(4,8)$ を除く放物線弧と、原点からそれぞれ $(-4,8)$、$(4,8)$ へ向かう2本の線分（端点はいずれも除く）である。