1日本大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1)　 2次方程式の解と係数の関係から $$\displaystyle \alpha+\beta=-\frac53,\qquad \alpha\beta=\frac83.$$ よって $$\displaystyle \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta =\frac{25}{9}-\frac{16}{3}=-\frac{23}{9},$$ $$\displaystyle \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta) =-\frac{125}{27}+\frac{40}{3}=\frac{235}{27}.$$ したがって、$[1]$〜$[8]$ は順に $2,3,9,2,3,5,2,7$ である。

(2)　 $$\displaystyle x^2+\frac43x-\frac43=(x+2)\left(x-\frac23\right)\leq0$$ より $\displaystyle -2\leq x\leq\frac23$。また $$\displaystyle |3x+1|\leq4\text{であるための必要十分条件は} -4\leq3x+1\leq4 \text{、すなわち} -\frac53\leq x\leq1.$$ 共通範囲は $\displaystyle -\frac53\leq x\leq\frac23$ である。

(3)　 $\triangle$ ABC に余弦定理を用いると $$AC^2=(2\sqrt3)^2+2^2-2(2\sqrt3)(2)\cos30^\circ=4$$ なので $AC=2$。円に内接する四角形の対角の和は $180^\circ$ だから $\angle ADC=150^\circ$。$AD=d\ (d>0)$ とおき、$\triangle ACD$ に余弦定理を用いると $$4=d^2+(\sqrt2)^2-2d\sqrt2\cos150^\circ =d^2+2+\sqrt6d.$$ したがって $d^2+\sqrt6d-2=0$。正の解をとって $$\displaystyle AD=d=\frac{-\sqrt6+\sqrt{14}}2=\frac{\sqrt{14}-\sqrt6}{2}.$$ よって $[13]$〜$[16]$ は順に $1,4,6,2$ である。

(4)　 1本目と2本目の直線を連立すると $$x-2y=4,\qquad 2x+y=3$$ より $(x,y)=(2,-1)$。これを3本目に代入して $$2m^2-3m-9=0=(2m+3)(m-3),$$ したがって $\displaystyle m=3,-\frac32$。よって $[17]=3,\ [18]=3,\ [19]=2$ である。