2日本大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1)　 6個を使う方法は、与えられた7個から1個を除く種類ごとに数える。2を除く場合は $6!/(1!3!2!)=60$ 通り、3を除く場合は $6!/(2!2!2!)=90$ 通り、5を除く場合は $6!/(2!3!1!)=60$ 通りで、合計 $210$ 通りである。5の倍数は末尾が5である。末尾を5に固定し、残りの数字から5桁を並べると、2を除く場合 $5!/(1!3!1!)=20$ 通り、3を除く場合 $5!/(2!2!1!)=30$ 通り、残る5を除く場合 $5!/(2!3!)=10$ 通り、合計 $60$ 通りである。

(2)　 t=$\sin$ x+$\cos$ x=$\sqrt2$$\sin$$\displaystyle \left(x+\frac\pi4\right)$。$0\leq x\leq\pi$ より $\displaystyle \frac{\pi}{4}\le x+\frac{\pi}{4}\le\frac{5\pi}{4}$ で、正弦の最大値は1、最小値は $\displaystyle -\frac{\sqrt2}{2}$ だから $-1\leq t\leq\sqrt2$。また、$\sin^2x+\cos^2x=1$ より $\sin x\cos x=(t^2-1)/2$ だから、 $$\displaystyle y=\sin x\cos x(\sin x+\cos x+1)=\frac{(t-1)(t+1)^2}{2}$$。 $$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac12(t+1)(3t-1)$$ であり、$-1<t<1/3$ では減少、$1/3<t<\sqrt2$ では増加する。したがって最小値は $t=1/3$ でとり、$y=-16/27$ である。

(3)　 $X=2^x>0$ とおくと $$\displaystyle 2^{2x}-4\cdot2^{-x}=6\quad\text{すなわち}\quad X^2-\frac4X=6\quad\text{すなわち}\quad X^3-6X-4=0$$。 $$X^3-6X-4=(X+2)(X^2-2X-2)=0$$。 $X>0$ より $X=1+\sqrt3$ であり、$x=\log_2(1+\sqrt3)$。したがって $[31]$〜$[35]$ は $3,6,4,1,3$ である。

(4)　 $S_{n+2}=S_{n+1}+a_{n+2}$、$S_n=S_{n+1}-a_{n+1}$ を漸化式に代入すると $$a_{n+2}-4a_{n+1}=0$$ を得る。よって $a_{n+1}=a_2\cdot4^{n-1}$、すなわち $S_{n+1}-S_n=a_2\cdot4^{n-1}$ である。したがって $[36]=4,\ [37]=1$、また $$a_6=a_2\cdot4^4=3\cdot256=768$$ より $[38][39][40]=768$ である。