1北里大学 2015年 数学 第1問解答・解説

【(1) 解の個数】$t=\sqrt{4x-3}$ とおくと $t\geq0$、$\displaystyle x=\frac{t^2+3}{4}$ であり、方程式は $$\displaystyle k=t-x=\frac{1-(t-2)^2}{4}$$ と同値である。したがって $t=2\pm\sqrt{1-4k}$ である。$\displaystyle k>\frac14$ なら実数解はなく、$\displaystyle k=\frac14$ なら $t=2$ の1個である。$\displaystyle -\frac34<k<\frac14$ なら2つの値はともに正である。$\displaystyle k=-\frac34$ では $t=0,4$ の2個、$\displaystyle k<-\frac{3}{4}$ では正の値は $2+\sqrt{1-4k}$ のみである。$t\geq0$ と $\displaystyle x\geq\frac34$ は一対一に対応するから、$$\displaystyle \text{(ア)}\quad -\frac34\leq k<\frac14,\qquad \text{(イ)}\quad k< -\frac34\ \text{または}\ k=\frac14.$$ 【(1) 回転体の体積】交点は $\sqrt{4x-3}=x$ より $(x-1)(x-3)=0$、すなわち $x=1,3$ である。$1<x<3$ では $4x-3>x^2$ なので、回転体の体積は$$\displaystyle V=\pi\int_1^3\bigl((4x-3)-x^2\bigr)\,dx=\pi\left[2x^2-3x-\frac{x^3}{3}\right]_1^3=\frac{4\pi}{3}.$$ 【(2) 共通接線】共有点の $x$ 座標を $x_0>0$ とする。曲線の値と接線の傾きが一致するので、$$\displaystyle kx_0^3-1=\log x_0,\qquad 3kx_0^2=\frac1{x_0}.$$ 後式から $\displaystyle kx_0^3=\frac13$、したがって $\displaystyle \log x_0=-\frac23$ である。よって $x_0=e^{-2/3}$、$\displaystyle k=\frac{e^2}{3}$。接線の傾きは $e^{2/3}$、接点の $y$ 座標は $\displaystyle -\frac23$ だから、$$\displaystyle y=e^{2/3}(x-e^{-2/3})-\frac23=e^{2/3}x-\frac53.$$ 【(3) 数列】$S_1=1$ であり、漸化式から $$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=2S_n+n^2+1.$$ ここで $T_n=S_n+n^2+2n+4$ とおくと、$T_{n+1}=2T_n$、$T_1=8$ となる。ゆえに $T_n=2^{n+2}$ であり、$$S_n=2^{n+2}-n^2-2n-4.$$ $n\geq2$ では $a_n=S_n-S_{n-1}=2^{n+1}-2n-1$ となり、この式は $a_1=1$ にも一致する。したがって $$a_4=23,\qquad a_n=2^{n+1}-2n-1,\qquad S_n=2^{n+2}-n^2-2n-4.$$ 【(4) 三角形】(i) 余弦定理より $\displaystyle BC^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cos\frac{\pi}{3}=13$。正弦定理より外接円半径 $R$ は $$\displaystyle R=\frac{BC}{2\sin(\pi/3)}=\frac{\sqrt{39}}{3}.$$ (ii) $\overrightarrow{AO}=u\vec b+v\vec c$ とおく。外心の定義から $\displaystyle \overrightarrow{AO}\cdot\vec b=\frac{|\vec b|^2}{2}=\frac92$、$\displaystyle \overrightarrow{AO}\cdot\vec c=\frac{|\vec c|^2}{2}=8$ である。また $\vec b\cdot\vec b=9$、$\vec c\cdot\vec c=16$、$\displaystyle \vec b\cdot\vec c=3\cdot4\cos\frac{\pi}{3}=6$ だから、$$\displaystyle 9u+6v=\frac92,\qquad 6u+16v=8.$$ これを解いて $\displaystyle u=\frac29,v=\frac5{12}$ を得る。 (iii) $A,B,O$ の位置を $(\vec b,\vec c)$ の係数で表すと、$B=(1,0)$、$\displaystyle O=(\frac29,\frac5{12})$ である。直線 $BO$ 上の点は $(1-t)B+tO$ と表せる。辺 $AC$ 上では $\vec b$ の係数が0なので $\displaystyle 1-t+\frac{2t}{9}=0$、すなわち $\displaystyle t=\frac97$。このとき $\displaystyle P=\frac{15}{28}\vec c$ だから、$$\displaystyle AP:PC=\frac{15}{28}:\frac{13}{28}=15:13.$$ 【(5) 確率】各人の選択は独立である。前日に別々の食堂だったとき、翌日に同じ食堂となるのは、2人が唯一共通して選べる食堂をともに選ぶ場合だけなので確率は $\displaystyle \frac14$、別々のままの確率は $\displaystyle \frac34$ である。同じ食堂だった翌日に再び同じとなる確率は、2人が残る2食堂から同じ1つを選ぶ確率 $\displaystyle \frac12$ である。1日目は別々なので、3日目に初めて一緒となる確率は $$\displaystyle \frac34\cdot\frac14=\frac3{16}.$$ 2回目が7日目となるには、最初の一緒の日が2〜5日目のいずれかで、その翌日は別々となり、以後6日目まで別々、7日目に再び一緒となる場合、または最初が6日目で7日目に続けて一緒となる場合である。最初の日を $j$ 日目（$j=2,3,4,5$）とすると各場合の確率は $$\displaystyle \left(\frac34\right)^{j-2}\frac14\cdot\frac12\left(\frac34\right)^{5-j}\frac14=\frac{27}{2048}.$$ 最初が6日目の確率は $\displaystyle (\frac34)^4\cdot\frac14\cdot\frac12=\frac{81}{2048}$。したがって$$\displaystyle \text{(セ)}\quad4\cdot\frac{27}{2048}+\frac{81}{2048}=\frac{189}{2048}.$$