3北里大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) $f$ は奇関数だから $f(-x)=-f(x)$。$x=0$ とすると $f(0)=-f(0)$ より $f(0)=0$。 (2) $f(-x)=-f(x)$ を微分すると $-f'(-x)=-f'(x)$ となる。したがって $f'(-x)=f'(x)$ であり、$f'$ は偶関数である。 (3) $f''(x)>0$ より $f'$ は $x\ge0$ の範囲で厳密に増加する。さらに $f'(0)=0$ と $f'$ の偶性から、$f'(x)=f'(|x|)$ であり、$f'(x)$ は $|x|$ が大きいほど大きい。平行移動後の曲線 $C_2$ は $y=f(x-a)+f(a)$ だから、交点の $x$ 座標は $$g(x)=f(x)-f(x-a)-f(a)=0$$ の解である。$g(0)=g(a)=0$。一方、$$g'(x)=f'(x)-f'(x-a).$$ $a>0$ なので、$\displaystyle x<\frac a2$ なら $|x|<|x-a|$ となり $g'(x)<0$、$\displaystyle x>\frac a2$ なら $|x|>|x-a|$ となり $g'(x)>0$ である。よって $g$ は $\displaystyle x=\frac a2$ まで厳密に減少し、その後厳密に増加する。各側で零点は高々1個であり、既に $0,a$ が零点なので、共有点はちょうど2個、$x$ 座標は $0,a$ である。 (4) 上の増減から $0<x<a$ では $g(x)<0$ であるので、囲まれた部分では $C_2$ が $C_1$ の上にある。したがって$$\displaystyle S(a)=\int_0^a\{f(x-a)+f(a)-f(x)\}\,dx=af(a)-2\int_0^a f(x)\,dx.$$ ここで $f$ の奇性により $\displaystyle \int_{-a}^0 f(u)\,du=-\int_0^a f(u)\,du$ を用いた。微分すると$$S'(a)=af'(a)-f(a).$$ また $f(0)=0$ より $\displaystyle f(a)=\int_0^a f'(x)\,dx$。$f'$ は $x\ge0$ の範囲で厳密に増加するため、$0\leq x<a$ では $f'(x)<f'(a)$ であり、$f(a)<af'(a)$。ゆえに $S'(a)>0$ である。$0<a\leq3$ で $S(a)$ は厳密に増加するので、最大となるのは $a=3$ である。