2東京慈恵会医科大学 2017年 数学 第2問解答・解説

第2問 $t>0$ で被積分関数は $t\le e$ なら $e/t-1$、$t\ge e$ なら $1-e/t$ である。従って $$\displaystyle f(x)=\begin{cases} e\log m-(m-1)x &(0<x\le e/m),\\ e\log\dfrac{e^2}{mx^2}+(m+1)x-2e &(e/m\le x\le e),\\ (m-1)x-e\log m &(x\ge e). \end{cases}$$ 中段は $\displaystyle \int_x^e(e/t-1)dt+\int_e^{mx}(1-e/t)dt$ から得られる。境界で式と導関数は一致する。第1区間では $f'=-(m-1)<0$、中段では $f'=m+1-2e/x$, $f''=2e/x^2>0$、第3区間では $f'=m-1>0$。中段の停留点 $$\displaystyle a=\frac{2e}{m+1}$$ は $e/m<a<e$（$m>1$）を満たし、そこで導関数が負から正へ変わるから唯一の最小点である。

(2) $f(e)=e(m-1-\log m)$, $f'(e)=m-1$ より接線は $y=(m-1)x-e\log m$。$e/m<a<e$ なので $a\le x\le e$ の範囲では中段の式を使い、曲線との差は $$\displaystyle f(x)-y=2e\log\frac ex+2x-2e\ge0.$$ 従って $$\displaystyle \begin{aligned} S(m)&=2\int_a^e\left(e\log\frac ex+x-e\right)dx\\ &=e^2-a^2-2ea\log\frac ea\\ &=e^2\left(1-\frac4{(m+1)^2}-\frac4{m+1}\log\frac{m+1}{2}\right). \end{aligned}$$ 最後に $\log x/x\to0$ を $x=(m+1)/2$ に用いると、右辺の括弧内の後2項は0に収束する。よって $\displaystyle\lim\limits _{m\to\infty}S(m)=e^2$。