3東京慈恵会医科大学 2017年 数学 第3問解答・解説

第3問

$a$ は素数で $a(ab-p^2)=c^2$ だから $a\mid c^2$、従って $a\mid c$。$c=ak$（$k$ は正整数）とおくと $$ab-p^2=ak^2,\qquad p^2=a(b-k^2).$$ よって素数 $a$ は $p^2$ を割るため $a=p$。従って $b=p+k^2,c=pk$ である。条件 $b\le2c$ は $$(k-p)^2\le p^2-p$$ と同値で、実数範囲は $p-\sqrt{p^2-p}\le k\le p+\sqrt{p^2-p}$。$p-1<\sqrt{p^2-p}<p$（左側の平方差は $p-1>0$）より、下端は0と1の間、上端は $2p-1$ と $2p$ の間にある。従って許される正整数 $k$ は $1,\ldots,2p-1$ の $2p-1$ 個である。

(2)

$$\gcd(a,b,c)=\gcd(p,p+k^2,pk)=\gcd(p,k^2).$$ これは $p\nmid k$ と同値である。$1\le k\le2p-1$ にある $p$ の倍数は $k=p$ だけなので、最大公約数が1の組は $2p-2$ 個。