II関西医科大学 2022年 数学 第II問解答・解説

(1) 分子を因数分解すると $$6x^2+17x+10=(6x+5)(x+2)$$ である。分母が0となる $\displaystyle x=\frac23$ は定義域から除く。分子の零点は $\displaystyle -2,-\frac56$ であり，符号を調べると $$\displaystyle \begin{array}{c|cccc} x&x<-2&-2<x<-\frac56&-\frac56<x<\frac23&x>\frac23\\ \hline f(x)&-&+&-&+ \end{array}$$ となる。分子が0の点と分母が0の点では $f(x)>0$ にならないから，求める範囲は $$\displaystyle -2<x<-\frac56\quad\text{または}\quad x>\frac23$$ である。

(2) 多項式の割り算をすると $$6x^2+17x+10=(3x-2)(2x+7)+24$$ である。したがって，$\displaystyle x\neq\frac23$ に対して $$\displaystyle f(x)=2x+7+\frac{24}{3x-2}$$ となる。よって $A=2,\ B=7,\ C=24$ である。

(3) 整数 $n$ に対して $2n+7$ は整数なので，(2)より $f(n)$ が整数となるための必要十分条件は $\displaystyle \frac{24}{3n-2}$ が整数となることである。よって $3n-2$ は24の約数であり，さらに $3n-2\equiv1\pmod 3$ である。24の約数のうちこの条件を満たすものは $$3n-2=1,\ 4,\ -2,\ -8$$ であるから，候補は $n=1,2,0,-2$ となる。それぞれを代入すると $$f(1)=33,\qquad f(2)=17,\qquad f(0)=-5,\qquad f(-2)=0.$$ 正の整数となるのは $n=1,2$ である。