I関西医科大学 2022年 数学 第I問解答・解説

独立性が補われた場合の計算を示す。$E$ を3桁がすべて一致する事象とする。各桁が状態を固定したとき互いに独立なら、各数字 $k$ が3桁すべてに出る確率は $p_k^3$ であり、 $$\displaystyle P(E\mid A)=\left(\frac35\right)^3+4\left(\frac1{10}\right)^3=\frac{11}{50},$$ $$\displaystyle P(E\mid B)=3\left(\frac15\right)^3+\left(\frac25\right)^3=\frac{11}{125}.$$ よって全確率の公式から $$\displaystyle P(E)=P(A)P(E\mid A)+P(B)P(E\mid B)=\frac14\cdot\frac{11}{50}+\frac34\cdot\frac{11}{125}=\frac{121}{1000}.$$ さらに条件付き確率の定義より $$\displaystyle P(A\mid E)=\frac{P(A)P(E\mid A)}{P(E)}=\frac{\frac14\cdot\frac{11}{50}}{\frac{121}{1000}}=\frac5{11}.$$

しかし、同じ周辺確率を満たす別の仕組みとして、状態ごとに指定の分布で数字 $Y$ を1つだけ選び、表示を $YYY$ とすることも、記載された各桁の確率には反しない。この場合は常に3桁が一致するため、$P(E\mid A)=P(E\mid B)=1$、$P(E)=1$、$P(A\mid E)=1/4$ となる。独立の場合と結果が異なるので、少なくとも「状態を固定したとき各桁は互いに独立に数字を決める」という条件が原文に明記されない限り、(1)〜(4)に一意な答えはない。