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北海道大学／2022年度

北海道大学 2022年 数学 第4問解答・解説

場合の数と確率

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1問題

北海道大学2022年度第4問

アルファベットの A と書かれた玉が 1 個, D と書かれた玉が 1 個, H と書かれた玉が 1 個, I と書かれた玉が 1 個, K と書かれた玉が 2 個, O と書かれた玉が 2 個ある。これら 8 個の玉を円形に並べる。

(1) 時計回りに HOKKAIDO と並ぶ確率を求めよ。

(2) 隣り合う子音が存在する確率を求めよ。ここで子音とは, D, H, K の 3 文字（玉は 4 個）のことである。

(3) 隣り合う子音が存在するとき，それが KK だけである条件つき確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

同一文字を区別しない円順列を標本空間とし、母音を円形に置いた後の4つの隙間への子音配置で場合分けする。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) 11260,\displaystyle \space{}\frac{1}{1260},\quad (2) 3435,\displaystyle \space{}\frac{34}{35},\quad (3) 117\displaystyle \space{}\frac{1}{17}

4解答

解答を見る途中式つきの解答

同じ文字の玉を区別しない円順列を数える。全体の数はN=7!2!2!=1260\displaystyle N=\frac{7!}{2!2!}=1260である。同じ文字配置は物理的な同色玉の区別の仕方が常に2!2!2!2!通りなので、各配置は等確率である。

(1) 時計回りにHOKKAIDOHOKKAIDOとなる円配置は、回転を同一視すると1通りだから、求める確率は1/12601/1260。

(2) 子音が隣り合わない配置を数える。母音A,I,O,OA,I,O,Oの円配置は(4−1)!/2!=3(4-1)!/2!=3通りで、4つの隙間に子音D,H,K,KD,H,K,Kを1個ずつ置く方法は4!/2!=124!/2!=12通り。したがって子音が隣り合わない配置は3⋅12=363\cdot12=36通りであり、少なくとも1組の子音が隣り合う確率は1−36/1260=34/351-36/1260=34/35。

(3) 条件事象をA={少なくとも1組の子音が隣り合う}A=\{\text{少なくとも1組の子音が隣り合う}\}、その隣り合う組がKKKKだけである事象をBBとする。BBでは母音間の4隙間の子音数が(2,1,1,0)(2,1,1,0)で、2個入る隙間にはK,KK,K、1個ずつの2隙間にはD,HD,Hを置く。母音の円配置3通りそれぞれに対し、2個入る隙間の選択が4通り、D,HD,Hを置く2隙間の順序付き選択が3⋅2=63\cdot2=6通りなので、∣B∣=3⋅4⋅6=72|B|=3\cdot4\cdot6=72。よってP(B∣A)=721260−36=117.\displaystyle P(B\mid A)=\frac{72}{1260-36}=\frac{1}{17}.

この問題で使う考え方

  • 順列
  • 確率の基本法則
  • 条件付き確率

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