2北里大学 2019年 数学 第2問解答・解説

A答案 Q2 — 北里大学 2019

(1) 4回の取り出し

各回、青球の確率は $\displaystyle \frac24=\frac12$、赤球と黄球の確率はそれぞれ $\displaystyle \frac14$。戻してから次を引くため各回は独立である。 $$\displaystyle p_4(0)=\left(\frac12\right)^4=\boxed{\frac1{16}}.$$ 青1回、赤1回、黄2回の並び方は $\displaystyle \frac{4!}{1!1!2!}=12$ 通りなので $$\displaystyle q_4(1,1) =12\cdot\frac12\cdot\frac14\cdot\left(\frac14\right)^2 =\boxed{\frac3{32}}.$$

(2) $a_n$ の極限

$h>0$、$n\geq2$ に対し、二項定理から $$\displaystyle (1+h)^n\geq\binom n2h^2=\frac{n(n-1)h^2}{2}.$$ 従って $$\displaystyle 0<a_n=\frac{n}{(1+h)^n}\leq\frac{2}{(n-1)h^2}\longrightarrow0.$$ はさみうちの原理により $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}a_n=0}.$$

(3) $b_n$ の極限

$X_n$ を $n$ 回で取り出した青球の個数とすると $$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^n\frac jn p_n(j)=\frac{\mathbb E[X_n]}n =\frac{n\cdot\frac12}{n}=\frac12.$$ 次に $Y_n$ を黄球の個数、$E_n$ を「青球を一度も引かない」事象とする。$q_n(0,j)$ は青0回・赤 $j$ 回の確率で、青0回のもとでは黄球は $n-j$ 回である。よって $$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^n(n-j)q_n(0,j) =\mathbb E[Y_n\,\mathbf 1_{E_n}] =\Pr(E_n)\mathbb E[Y_n\mid E_n].$$ 各回の条件付き赤・黄確率はともに $\displaystyle \frac12$ だから、 $$\displaystyle \Pr(E_n)=\left(\frac12\right)^n,\qquad \mathbb E[Y_n\mid E_n]=\frac n2.$$ 従って $$\displaystyle b_n=\frac12+\frac{n}{2^{n+1}}.$$ (2) を $h=1$ として用いると $n/2^n\to0$。ゆえに $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}b_n=\frac12}.$$

最終答案

(1) $\displaystyle p_4(0)=\frac1{16},\ q_4(1,1)=\frac3{32}$。 (2) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=0$。 (3) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}b_n=\frac12$。

使用解法：独立試行と多項分布、二項定理による評価、期待値の線形性と条件付き期待値。 issues：なし。