1島根大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1) 数列は順序を区別する。両端 $k,\ell$ を含む数列は、含まれる値の重複の仕方によって次の三種類に分かれる。$k,k,\ell$ を並べる数列は $\ell$ の位置を選んで $3$ 個、$k,\ell,\ell$ を並べる数列も $k$ の位置を選んで $3$ 個である。

$\ell<j<k$ となる整数 $j$ を含む場合、$k,\ell,j$ は相異なるので、並べ方は $3!=6$ 個であり、そのような $j$ は $k-\ell-1$ 個ある。以上で全ての場合を尽くすから、求める総数は $$3+3+6(k-\ell-1)=6(k-\ell).$$ したがって総数は $6(k-\ell)$ 個。

(2) さいころを3回投げた結果は順序を区別して $6^3=216$ 通りあり、いずれも同様に確からしい。$M=j$ となる結果数は、全ての目が $j$ 以下である $j^3$ 通りから、全ての目が $j-1$ 以下である $(j-1)^3$ 通りを引いて $j^3-(j-1)^3$ 通りである。したがって $j=1,2,3,4,5,6$ に対する結果数は順に $1,7,19,37,61,91$ であり、 $$\displaystyle E(M)=\frac{1\cdot1+2\cdot7+3\cdot19+4\cdot37+5\cdot61+6\cdot91}{216}=\frac{1071}{216}=\frac{119}{24}.$$ 各結果 $(a,b,c)$ を $(7-a,7-b,7-c)$ に移す対応は216通りの結果の間の一対一対応であり、変換後の最大値は元の最小値 $m$ に対して $7-m$ である。対応が一対一なので変換後の最大値の期待値は $E(M)$ と等しく、 $$\displaystyle E(7-m)=E(M),\qquad E(m)=7-E(M)=\frac{49}{24}.$$ よって期待値の差をとると、 $$\displaystyle E(R)=E(M-m)=E(M)-E(m)=\frac{119}{24}-\frac{49}{24}=\frac{35}{12}.$$