4北海道大学 2013年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{サイコロの出目を4で割った余りは、}0,1,2,3\text{がそれぞれ}1,2,2,1\text{通りである。} \text{積の余りが}0\text{となる組は、少なくとも一方が余り}0\text{のものが}6+5=11\text{通り、} \text{両方が余り}2\text{のものが}2\cdot2=4\text{通りなので、合計}15\text{通り。} \text{余り}1\text{の組は}(1,1),(3,3)\text{型で}2\cdot2+1=5\text{通り、余り}3\text{の組は} (1,3),(3,1)\text{型で}2+2=4\text{通り。したがって余り}2\text{の組は}36-15-5-4=12\text{通り。} \text{よって1回の移動の確率は、左が}\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\text{、下が}\frac{5}{36}\text{、右が}\frac{12}{36}=\frac13\text{、上が}\frac{4}{36}=\frac19\text{。} \text{(1) }(-1,0)\text{にいるのは左へ動く場合だから、確率は}\frac{5}{12}. \text{(2) 3回で}(2,1)\text{に着くには、マンハッタン距離}3\text{だけ全て目標へ近づく必要があり、} \text{右2回、上1回である。順序は}\frac{3!}{2!1!}=3\text{通りなので、確率は} 3\left(\frac13\right)^2\frac19=\frac1{27}. \text{(3) 4回で}(1,1)\text{に着くとき、右・左・上・下の回数を}R,L,U,D\text{とすると} R-L=1,\quad U-D=1,\quad R+L+U+D=4. \text{したがって}L+D=1\text{で、(i) }(R,L,U,D)=(2,1,1,0)\text{または(ii) }(1,0,2,1)\text{。} \text{各場合の順序は}\frac{4!}{2!1!1!}=12\text{通りずつ。よって求める確率は} 12\left(\frac13\right)^2\frac{5}{12}\frac19+12\frac13\left(\frac19\right)^2\frac{5}{36}=\frac5{81}+\frac5{729}=\frac{50}{729}.$$