1北海道大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1)

交点では$a\cos t=b\sin t$。$a,b>0$より$0<t<\pi/2$である。 $\sin t/\cos t=a/b$と$\sin^2t+\cos^2t=1$より $$\displaystyle \boxed{\sin t=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}},\qquad \cos t=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}}.$$ なお$a\cos x-b\sin x$は区間内で狭義に減少し、両端で正負が変わるため、交点は一つである。

(2)

$0\le x\le t$では$C_1$が上、$C_2$が下なので $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^t(a\cos x-b\sin x)\,dx\\ &=a\sin t+b\cos t-b=\boxed{\sqrt{a^2+b^2}-b}. \end{aligned}$$

(3)

$t\le x\le\pi/2$では上下が逆になるため $$\displaystyle \begin{aligned} T&=\int_t^{\pi/2}(b\sin x-a\cos x)\,dx\\ &=-a+b\cos t+a\sin t=\sqrt{a^2+b^2}-a. \end{aligned}$$ 従って$T=2S$は $$2b-a=\sqrt{a^2+b^2}$$ と同値である。両辺を2乗すると$4b^2-4ab= b^2$、すなわち$b(3b-4a)=0$。 $b>0$より$b=4a/3$が必要である。逆に$b=4a/3$なら$2b-a=5a/3>0$かつ$\sqrt{a^2+b^2}=5a/3$であり、もとの等式を満たす。 よって必要十分条件は $$\boxed{3b=4a\quad(a,b>0)}.$$