鳥取大学 2013年数学第III問解答・解説

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1問題

鳥取大学2013年度第III問

$a,b$ を正の定数とする。曲線 $y=e^{-ax}\sin bx\quad(x\geq0)$ と $x$ 軸とで囲まれた図形で $x$ 軸の下側にある部分の面積を、 $y$ 軸に近い方から順に $S_{1},S_{2},S_{3},\dots$ とするとき、無限級数 $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}S_{n}$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle\sum\limits _{n=1}^{\infty}S_n=\frac{b}{(a^2+b^2)(e^{a\pi/b}-1)}$ 。
$\displaystyle\sum\limits _{n=1}^{\infty}S_n=\frac{b}{(a^2+b^2)(e^{a\pi/b}-1)}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$a,b>0$ とする。零点は $x=m\pi/b$ 。曲線が $x$ 軸の下にあるのは $\displaystyle \frac{(2k+1)\pi}{b}<x<\frac{(2k+2)\pi}{b}\qquad(k=0,1,2,\ldots)$ である。原始関数は $\displaystyle F(x)=-\frac{e^{-ax}(a\sin bx+b\cos bx)}{a^2+b^2},$ 実際 $F'(x)=e^{-ax}\sin bx$ 。

$u_k=(2k+1)\pi/b,\ v_k=(2k+2)\pi/b$ とすると、その区間の面積は $\displaystyle S_{k+1}=-\int_{u_k}^{v_k}e^{-ax}\sin bx\,dx =\frac{b}{a^2+b^2} \left(e^{-a(2k+1)\pi/b}+e^{-a(2k+2)\pi/b}\right).$ $q=e^{-a\pi/b}$ とおけば $0<q<1$ で、 $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}S_n =\frac{b}{a^2+b^2}\sum\limits _{k=0}^{\infty}(q+q^2)q^{2k} =\frac{b}{a^2+b^2}\frac{q}{1-q} =\boxed{\frac{b}{(a^2+b^2)(e^{a\pi/b}-1)}}.$

この問題で使う考え方

定積分による面積
部分積分による原始関数
等比級数の和

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