IV鳥取大学 2013年 数学 第IV問解答・解説

(1) 指数式を展開すれば $\alpha^2-\beta^2=1$。$D=\alpha^2+p^2\beta^2>0$ とおき，分母の共役を掛けると $$\displaystyle z=\frac{(1+p^2)\alpha\beta+ip(\alpha^2-\beta^2)}D.$$ よって $x=(1+p^2)\alpha\beta/D$，$y=p/D$。 (2) 指数で書き直すと $$\displaystyle x=\frac{(1+p^2)(e^{2t}-e^{-2t})}{(1+p^2)(e^{2t}+e^{-2t})+2(1-p^2)}.$$ 分子分母を $e^{2t}$，または $e^{-2t}$ で割れば，$t\to\infty$ で1，$t\to-\infty$ で $-1$。 (3) $b=\beta^2\ge0$ とおくと $D=1+(1+p^2)b$，$b=(p-y)/\{(1+p^2)y\}$。従って $$\displaystyle x^2=\frac{(p-y)(1+py)}p,\qquad x^2+\left(y-\frac{p^2-1}{2p}\right)^2=\frac{(p^2+1)^2}{4p^2}.$$ $D\ge1$ であり，$\beta^2$ は $|t|$ とともに0から無限に増加する。よって軌跡はこの円のうち $p>0$ なら $0<y\le p$，$p<0$ なら $p\le y<0$ の部分。 各許容 $y$ に対し $|t|$ が定まり，$t$ の符号を選べば $x$ の両符号が実現するため，指定円弧全体が得られる。