I鳥取大学 2013年 数学 第I問解答・解説

(1) $1111=13\cdot85+6$ より、$7x\equiv6\pmod{13}$ である。$7\cdot12\equiv6\pmod{13}$ だから、$x=12+13k$（$k$ は整数）とおける。これを元の方程式に代入すると、$$13y=1111-7(12+13k)=13(79-7k),\qquad y=79-7k.$$ $x,y$ が自然数となる条件は$k\ge0$、$79-7k\ge1$、すなわち$0\le k\le11$である。したがって$k=0,1,\ldots,11$の12通りであり、組は12組である。

(2) $s=-x+2y$ に$x=12+13k, y=79-7k$を代入すると、$$s=-(12+13k)+2(79-7k)=146-27k.$$ これは$k$が増えると減少するので、$k=0$のとき最大値$146$、$k=11$のとき最小値$146-27\cdot11=-151$をとる。

(3) $t=|2x-5y|$ に代入すると、$$t=|2(12+13k)-5(79-7k)|=|61k-371|.$$ $0\le k\le6$では$371-61k$となり、$k=6$のとき最小値$5$をとる。$7\le k\le11$では$61k-371$となり、値は56から300まで増加する。したがって全体の最小値は$5$、最大値は$k=0$のときの$371$である。