鳥取大学 2013年数学第II問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

鳥取大学2013年度第II問

自然数の数列 $\{a_{n}\}$ の隣り合う2項に次の関係式が成り立つ。 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}^{2}}=3^{n}\quad(n=1,2,\dots)$ また、 $a_{1}=1$ である。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $b_{n}=\log_{3}a_{n}$ とおくとき、 $b_{n}$ を $n$ の式で表せ。

(2) $a_{n}\geq 10^{100}$ となる最小の $n$ を求めよ。ただし、 $\log_{10}3=0.4771$ とする。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$b_n=2^n−n−1$
(2)
8

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $a_{n+1}=3^n a_n^2$ であり、 $a_1=1>0$ なので、対数をとると $b_{n+1}=\log_3 a_{n+1}=n+2b_n,\qquad b_1=0.$ $c_n=b_n+n+1$ とおけば $c_{n+1}=b_{n+1}+n+2=2b_n+2n+2=2c_n,\qquad c_1=2.$ したがって $c_n=2^n$ 、よって $\boxed{b_n=2^n-n-1}.$

(2) $a_n=3^{b_n}$ であり、 $b_{n+1}-b_n=2^n-1>0$ （ $n\ge1$ ）だから $a_n$ は増加する。また $\log_{10}a_7=(2^7-7-1)\cdot0.4771=120\cdot0.4771=57.252<100,$ $\log_{10}a_8=(2^8-8-1)\cdot0.4771=247\cdot0.4771=117.8437>100.$ ゆえに $a_7<10^{100}<a_8$ であり、増加性から条件を満たす最小の $n$ は $\boxed{8}$ 。

この問題で使う考え方

漸化式の変形
対数による比較

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。