愛媛大学 2013年数学第6問解答・解説

1問題

愛媛大学2013年度第6問

（理学部・工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く）・医学部）数列 $\{a_{n}\}$ を次のように定める。 $a_{1}=1,\quad a_{2}=4,\quad a_{n+2}=-a_{n+1}+12a_{n}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ 　 (1) $b_{n}=a_{n+1}-3a_{n}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ とおく。数列 $\{b_{n}\}$ の一般項を求めよ。　 (2) $c_{n}=a_{n+1}+4a_{n}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ とおく。数列 $\{c_{n}\}$ の一般項を求めよ。　 (3) $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ。　 (4) 極限値 $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) $b_1=a_2-3a_1=1$ 。漸化式より $\begin{aligned} b_{n+1}&=a_{n+2}-3a_{n+1}\\ &=(-a_{n+1}+12a_n)-3a_{n+1}\\ &=-4(a_{n+1}-3a_n)=-4b_n. \end{aligned}$ したがって $b_n=(-4)^{n-1}$ 。

(2) $c_1=a_2+4a_1=8$ 。また $\begin{aligned} c_{n+1}&=a_{n+2}+4a_{n+1}\\ &=(-a_{n+1}+12a_n)+4a_{n+1}\\ &=3(a_{n+1}+4a_n)=3c_n. \end{aligned}$ したがって $c_n=8\cdot3^{n-1}$ 。

(3) $c_n-b_n=7a_n$ なので $\displaystyle a_n=\frac{c_n-b_n}{7}=\frac{8\cdot3^{n-1}-(-4)^{n-1}}{7}.$

(4) $r_n=(-3/4)^{n-1}$ とおくと $\displaystyle a_n=\frac{(-4)^{n-1}(8r_n-1)}7.$ ここで $8r_n-1\ne0$ である。実際、 $k=n-1$ が奇数なら $r_n<0$ であり、 $k=0$ なら $8r_n-1=7$ 。正の偶数 $k$ で $8r_n-1=0$ と仮定すると $8\cdot3^k=4^k$ となるが、左辺は3で割り切れ右辺は3で割り切れないため不可能である。よって $a_n\ne0$ で、 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=-4\frac{8r_{n+1}-1}{8r_n-1}.$ $|r_n|=(3/4)^{n-1}\to0$ より $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=-4.$

この問題で使う考え方

漸化式の変形
等比数列
隣接項比の極限

1問題

2解答

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