10愛媛大学 2013年 数学 第10問解答・解説

全場合の数は、同じ番号でも2枚のカードを別物として数えて $$\displaystyle \binom{80}{3}=82160$$ である。

(1) 1から40までの3の倍数は13個なので、該当するカードは26枚。よって $$\displaystyle \frac{\binom{26}{3}}{\binom{80}{3}} =\frac{2600}{82160} =\boxed{\frac5{158}}.$$

(2) 3の倍数でない番号は27個で、カードは54枚。積が3の倍数でないのは3枚ともこの54枚から選ぶ場合だから $$\displaystyle 1-\frac{\binom{54}{3}}{\binom{80}{3}} =1-\frac{24804}{82160} =\boxed{\frac{1103}{1580}}.$$

(3) 番号を3で割った余りが0,1,2であるカード数は、それぞれ26,28,26枚である。和が3の倍数になる余りの組は、同じ余り3枚、または0,1,2を1枚ずつ選ぶ場合である。したがって $$\displaystyle \frac{2\binom{26}{3}+\binom{28}{3}+26\cdot28\cdot26}{\binom{80}{3}} =\frac{27404}{82160} =\boxed{\frac{527}{1580}}.$$

(4) 各カードに含まれる3の指数で分類する。指数0,1,2,3以上のカード数はそれぞれ54,18,6,2枚である。まず、指数3以上のカードを少なくとも1枚含む組は $$\displaystyle \binom{80}{3}-\binom{78}{3}=6084$$ 通り。

そのようなカードを含まず、指数の和が3以上となる組は、指数2のカードを選ぶ枚数により $$\displaystyle \begin{array}{c|r} \text{選び方}&\text{組数}\\ \hline 3枚とも指数2&\binom63=20\\ 2枚が指数2&\binom62\cdot72=1080\\ 1枚が指数2&6\left(\binom{72}{2}-\binom{54}{2}\right)=6750\\ 0枚が指数2&\binom{18}{3}=816 \end{array}$$ となる。ここで指数2が1枚の場合、残り2枚には少なくとも1枚の指数1が必要であり、指数2が0枚の場合は3枚とも指数1でなければならない。したがって有利な組は $$6084+20+1080+6750+816=14750$$ 通りであり、求める確率は $$\displaystyle \frac{14750}{82160}=\boxed{\frac{1475}{8216}}.$$