3愛媛大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(1) 交点の $x$ 座標は $x^2-x=2x$ より $x(x-3)=0$ を満たすので、$x=0,3$ である。$0\le x\le3$ では $$2x-f(x)=3x-x^2\ge0$$ だから、囲まれた面積は $$\displaystyle \int_0^3\{2x-f(x)\}\,dx=\int_0^3(3x-x^2)\,dx =\left[\frac32x^2-\frac13x^3\right]_0^3=\frac92.$$

(2)(i) $x<0$ では $|x|=-x$ なので、交点の $x$ 座標は $x^2-x=-2x$、すなわち $x(x+1)=0$ を満たす。この範囲では $x=-1$ で、$x=0$ も元の式を満たす。$x\ge0$ では $|x|=x$ なので、$x^2-x=2x$ より $x(x-3)=0$、すなわち $x=0,3$ である。したがって共有点は $$(-1,2),\quad(0,0),\quad(3,6)$$ である。

(2)(ii) 共有点の $x$ 座標は $h(x)=k$ の解である。ただし $$\displaystyle h(x)=f(x)-2|x|=\begin{cases} x^2+x=(x+\frac12)^2-\frac14 &(x<0),\\ x^2-3x=(x-\frac32)^2-\frac94 &(x\ge0). \end{cases}$$ 左側 $x<0$ の枝は最小値 $\displaystyle -\frac14$ をとり、$x\to0-$ で $h(x)\to0$ となる。したがって $h(x)=k$ の解の個数は、$\displaystyle k< -\frac14$ で $0$ 個、$\displaystyle k=-\frac14$ で $1$ 個、$\displaystyle -\frac14<k<0$ で $2$ 個、$k\ge0$ で $1$ 個である（$k=0$ の左側の解は $x=-1$）。

右側 $x\ge0$ の枝は最小値 $\displaystyle -\frac94$ をとり、$h(0)=0$ である。したがって解の個数は、$\displaystyle k< -\frac94$ で $0$ 個、$\displaystyle k=-\frac94$ で $1$ 個、$\displaystyle -\frac94<k<0$ で $2$ 個、$k=0$ で $2$ 個、$k>0$ で $1$ 個である。両側の個数を合わせると $$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccc} k&k<-\frac94&-\frac94&-\frac94<k<-\frac14&-\frac14&-\frac14<k<0&0&k>0\\\hline \text{共有点数}&0&1&2&3&4&3&2 \end{array}$$ となる。ゆえに共有点の個数が $2$ となるのは $$\displaystyle -\frac94<k<-\frac14\quad\text{または}\quad k>0$$ である。