1東海大学 2007年 数学 第1問解答・解説

放物線を平行移動すると，頂点を $(h,k)$ とする上向きのものは $y=(x-h)^2+k$，下向きのものは $y=-(x-h)^2+k$ である。したがって，①，②はそれぞれ $y=(x-\cos\theta)^2+\sin\theta$，$y=-(x+\cos\theta)^2-\sin\theta$ となる。

共通点では両式が等しいから，整理して $x^2=\sin^2\theta-\sin\theta-1$ を得る。$t=\sin\theta$ とおくと，右辺は $t^2-t-1$ である。その零点は $\displaystyle \frac{1\pm\sqrt5}{2}$ であり，$-1\le t\le1$ の範囲では $t^2-t-1>0$ となるのは $\displaystyle -1\le t<\frac{1-\sqrt5}{2}$ のときである。よって共有点が2個ある条件はこの範囲で，その $x$ 座標は $x=\pm\sqrt{t^2-t-1}$ である。等号 $\displaystyle t=\frac{1-\sqrt5}{2}$ のときは $x=0$ の1点で接する。

2曲線の差は $y_2-y_1=2(t^2-t-1-x^2)$ である。$a=t^2-t-1>0$ とおけば交点は $x=\pm\sqrt a$ で，その間では②が上側にある。したがって囲まれた面積は $\displaystyle S=\int_{-\sqrt a}^{\sqrt a}2(a-x^2)\,dx=\frac83a^{3/2}=\frac83(t^2-t-1)^{3/2}$ となる。さらに $\displaystyle -1\le t<\frac{1-\sqrt5}{2}$ では $a-1=(t-2)(t+1)\le0$ であり，等号は $t=-1$ のときに限る。よって面積の最大値は $\displaystyle \frac83$，$\sin\theta=-1$ を満たす $0\le\theta<2\pi$ の値は $\displaystyle \theta=\frac{3\pi}{2}$ である。