2東海大学 2007年 数学 第2問解答・解説

E,Fの間にちょうど $k$ 文字を置くとき，E,Fの位置の組は $5-k$ 通りあり，E,Fの順序は $2$ 通り，残る4文字の並べ方は $4!=24$ 通りである。したがって，$k=3,2,1$ の順に $2\cdot2\cdot24=96$ 通り，$3\cdot2\cdot24=144$ 通り，$4\cdot2\cdot24=192$ 通りとなる。

E,Fが隣り合う並べ方は，EFまたはFEをひとまとまりとみれば $2\cdot5!=240$ 通りである。よって隣り合わない並べ方は $6!-240=480$ 通り。

E,Fの間に入る文字数を $k$ とする。(3)の最初では，その間にAを置く位置を $k$ 通り選び，残る3文字を残りの位置に並べる。したがって総数は $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{4}(5-k)\cdot2\cdot k\cdot3!=48+72+72+48=240$ 通りである。A,Bがともに間に入るには $k\ge2$ が必要であり，間にある位置からA,Bを順に選ぶ方法は $k(k-1)$ 通り，残るC,Dの並べ方は $2!$ 通りである。よって $\displaystyle \sum\limits _{k=2}^{4}(5-k)\cdot2\cdot k(k-1)\cdot2!=24+48+48=120$ 通り。最後に，Cが間に入る並べ方もAの場合と同様に240通りなので，Cが入らない並べ方は $6!-240=480$ 通りである。