18自治医科大学 2008年 数学 第18問解答・解説

左からの位置を $1,\ldots,9$ とすると、奇数番目の位置は $1,3,5,7,9$ の5か所、偶数番目の位置は $2,4,6,8$ の4か所である。使う奇数のカードは $1,1,3,3,5$ の5枚、偶数のカードは $2,2,4,6$ の4枚なので、奇数のカードを奇数番目に、偶数のカードを偶数番目に置けば条件を満たす。

奇数番目の5か所への並べ方を数える。同じ数字のカードを一時的に区別すると $5!$ 通りだが、2枚の「1」の入れ替えと2枚の「3」の入れ替えは同じ数になる。したがって、異なる並びは $$\displaystyle \frac{5!}{2!\,2!}=30$$ 通りである。

偶数番目の4か所には $2,2,4,6$ を置く。2枚の「2」の入れ替えは同じ数になるため、異なる並びは $$\displaystyle \frac{4!}{2!}=12$$ 通りである。奇数番目と偶数番目の並べ方は互いに独立に選べるので、条件を満たす異なる9桁の自然数の総数は $$X=30\cdot12=360$$ となる。カードに0はないから、どの並びも9桁の自然数である。よって $$\displaystyle \frac{X}{40}=\frac{360}{40}=9.$$

数え方を確認すると、奇数番目では「5」の位置を5通りに選び、残る4か所から「1」の位置を2か所選べばよいので $\displaystyle 5\binom{4}{2}=30$ 通り。偶数番目では「4」と「6」の位置を順に選んで $4\cdot3=12$ 通りとなり、同じ $X=360$ を得る。したがって答えは $\boxed{9}$、共通選択肢では $\boxed{\text{ワ}}$ である。