3徳島大学 2010年 数学 第3問解答・解説

4回の試行では各回10通りの数字が出て，記録された順序を区別する。したがって，全結果は ${10}^{4}=10000$ 通りであり，同様に確からしい。

(1) 4つがすべて同じになる結果は，その数字の選び方が10通りなので10通りである。よって確率は $\displaystyle \dfrac{10}{10^{4}}=\dfrac{1}{1000}$。

(2) 現れる2種類の数字を選ぶ方法は $\displaystyle \binom{10}{2}$ 通り。選んだ2種類だけを4回の各位置に置く並べ方は $2^{4}$ 通りだが，一方の数字だけが4回続く2通りを除く。したがって有利な結果は $\displaystyle \binom{10}{2}(2^{4}-2)=45\cdot14=630$ 通りで，確率は $\displaystyle \dfrac{630}{10000}=\dfrac{63}{1000}$。

(3) 4つの記録にちょうど3種類が現れるとき，出現回数は2,1,1である。使う3種類を選び，そのうち2回現れる数字を選び，4つの位置に並べる方法はそれぞれ $\displaystyle \binom{10}{3}$，3，$\displaystyle \dfrac{4!}{2!}$ 通り。よって有利な結果は $\displaystyle \binom{10}{3}\cdot3\cdot\dfrac{4!}{2!}=120\cdot3\cdot12=4320$ 通りで，確率は $\displaystyle \dfrac{4320}{10000}=\dfrac{54}{125}$。