2徳島大学 2010年 数学 第2問解答・解説

(1) 漸化式から $$\displaystyle a_2=\frac12\left(1+\frac31\right)=2.$$ また，正の数どうしを平方して比べると $$\displaystyle \left(\frac32\right)^2=\frac94<3<4=2^2$$ より $\displaystyle \frac32<\sqrt3<2$ である。したがって $$\displaystyle 0<2-\sqrt3<\frac12,$$ すなわち $$\displaystyle 0<a_2-\sqrt3<\frac12.$$

(2) $n=2$ のときは (1) で示した。次に $n\ge2$ とし， $$\displaystyle 0<a_n-\sqrt3<\left(\frac12\right)^{n-1}$$ と仮定する。このとき $a_n>\sqrt3>1$ であり，漸化式より $$\displaystyle \begin{aligned} a_{n+1}-\sqrt3&=\frac12\left(a_n+\frac3{a_n}-2\sqrt3\right)\\ &=\frac{a_n^2-2\sqrt3a_n+3}{2a_n}\\ &=\frac{(a_n-\sqrt3)^2}{2a_n}>0. \end{aligned}$$ さらに $a_n>1$ より $$\displaystyle a_{n+1}-\sqrt3<\frac{(a_n-\sqrt3)^2}{2}<\frac12\left(\frac12\right)^{2n-2}=\left(\frac12\right)^{2n-1}<\left(\frac12\right)^n,$$ 最後の不等号は $n\ge2$ から $2n-1>n$ であることによる。よって $n+1$ でも不等式が成り立つ。以上から数学的帰納法により，すべての $n\ge2$ で $$\displaystyle 0<a_n-\sqrt3<\left(\frac12\right)^{n-1}$$ が成り立つ。

(3) $n\to\infty$ のとき $\displaystyle \left(\frac12\right)^{n-1}\to0$ である。(2) の不等式と，はさみうちの原理から $a_n-\sqrt3\to0$。したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=\sqrt3.$$