4徳島大学 2010年 数学 第4問解答・解説

点の座標を列ベクトルで表すと、移動を表す行列は $$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}a+2&1\\1&2-a\end{pmatrix}$$ である。$A^2=2I$ なので $A^{-1}=A/2$ であり、$AX=B$ から $$\displaystyle X=A^{-1}B=\frac12\begin{pmatrix}a+3&3-a\\a+1&a-1\end{pmatrix}.$$

(1) 上の成分から $$\displaystyle \det X=\frac14\bigl((a+3)(a-1)-(3-a)(a+1)\bigr)=\frac{a^2-3}{2}.$$ 2次正方行列の逆行列は行列式が0でないときに存在するので、逆行列が存在しない条件は $a^2-3=0$。したがって $$a=\pm\sqrt3.$$

(2) $a$ は整数なので $a^2-3\ne0$ である。$M=2X$ とおき、 $$N=\begin{pmatrix}a-1&a-3\\-a-1&a+3\end{pmatrix}$$ とすると、成分を掛け合わせて $$MN=NM=2(a^2-3)I$$ となる。したがって $$\displaystyle X^{-1}=\frac{1}{a^2-3} \begin{pmatrix}a-1&a-3\\-a-1&a+3\end{pmatrix}.$$ この4成分がすべて整数なら、$a^2-3$ は分子の $a-1$ と $a-3$ の両方を割り切るため、その差 $2$ も割り切る。よって $$a^2-3=1,-1,2,-2\text{ のいずれかである。}$$ $a$ が整数でこれを満たすのは、$a^2-3=1$ のとき $a=\pm2$、および $a^2-3=-2$ のとき $a=\pm1$ である。他の二つの場合は $a^2=2$ または $a^2=5$ となり整数解はない。候補を代入すると $$\begin{array}{c|c} a&X^{-1}\\\hline 1&\begin{pmatrix}0&1\\1&-2\end{pmatrix}\\ -1&\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\\ 2&\begin{pmatrix}1&-1\\-3&5\end{pmatrix}\\ -2&\begin{pmatrix}-3&-5\\1&1\end{pmatrix} \end{array}$$ でいずれも成分は整数である。したがって求める整数は $$a=-2,-1,1,2.$$