5九州大学 2013年 数学 第5問解答・解説

準備（$AB$ と $(AB)^2$ の計算）

$$A=\begin{pmatrix}x&y\\-t-x&-x\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5&4\\-6&-5\end{pmatrix}$$ であるから， $$AB=\begin{pmatrix} 5x-6y & 4x-5y\\ x-5t & x-4t \end{pmatrix}$$ となる。$AB=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$（$p=5x-6y,\ q=4x-5y,\ r=x-5t,\ s=x-4t$）とおくと， $$(AB)^2=\begin{pmatrix}p^2+qr & q(p+s)\\ r(p+s) & rq+s^2\end{pmatrix}$$ であるから，$(AB)^2$ が対角行列であることは $$q(p+s)=0\quad\text{かつ}\quad r(p+s)=0 \tag{$\ast$}$$ と同値である。ここで $$p+s=(5x-6y)+(x-4t)=6x-6y-4t=2(3x-3y-2t)$$ であるから，$p+s=0$ は $3x-3y-2t=0$ と同値である。以下，この事実を用いる。

(1) の証明

$3x-3y-2t\neq 0$，すなわち $p+s\neq 0$ と仮定する。このとき($\ast$)より $$q=4x-5y=0,\qquad r=x-5t=0$$ が必要である。$r=0$ より $x=5t$。これを $q=0$ に代入すると $$4(5t)-5y=0 \quad\text{より}\quad y=4t.$$ よって $$A=\begin{pmatrix}5t & 4t\\ -t-5t & -5t\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5t & 4t\\ -6t & -5t\end{pmatrix} =t\begin{pmatrix}5&4\\-6&-5\end{pmatrix}=tB.$$ したがって「$3x-3y-2t\neq 0\Longrightarrow A=tB$」が示された。■

(2) の証明

以下，$A^2\neq E$ かつ $A^4=E$ とする。まず $$B^2=\begin{pmatrix}5&4\\-6&-5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&4\\-6&-5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}25-24 & 20-20\\ -30+30 & -24+25\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E$$ であることに注意する。

背理法で示す。$3x-3y-2t\neq 0$ と仮定すると，(1)より $A=tB$ である。このとき $$A^2=t^2B^2=t^2E.$$ $A^2\neq E$ であるから $t^2\neq 1$ ……①。 一方 $A^4=(A^2)^2=(t^2E)^2=t^4E$ であり，$A^4=E$ であるから $t^4=1$。 $t$ は実数だから $t^2\ge 0$ であり，$t^4=(t^2)^2=1$ より $t^2=1$ ……②。 ①と②は矛盾する。

よって仮定は誤りであり，$3x-3y-2t=0$ が成り立つ。■

(3) の解答

$A=\begin{pmatrix}x&y\\-t-x&-x\end{pmatrix}$ の対角成分の和（$(1,1)$成分と$(2,2)$成分の和）は $x+(-x)=0$ である。一般に $2$次正方行列 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ で $a+d=0$（$d=-a$）のとき， $$\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}a^2+bc & ab-ab\\ ca-ac & cb+a^2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a^2+bc & 0\\ 0 & a^2+bc\end{pmatrix} =(a^2+bc)E$$ となり，自動的にスカラー行列になる。$A$ にこれを適用すると（$a=x,\ b=y,\ c=-t-x$）， $$A^2=k E,\qquad k=x^2+y(-t-x)=x^2-xy-ty.$$ $A^4=(A^2)^2=k^2E$ である。 $A^2\neq E$ より $k\neq 1$。$A^4=E$ より $k^2=1$，すなわち $k=1$ または $k=-1$。 $k\neq 1$ と合わせて $$k=x^2-xy-ty=-1. \tag{$\dagger$}$$

(2)の結果 $3x-3y-2t=0$ より $$\displaystyle y=x-\frac{2}{3}t. \tag{$\ddagger$}$$ ($\ddagger$) を ($\dagger$) に代入する。 $$\displaystyle y(x+t)=\left(x-\frac{2}{3}t\right)(x+t)=x^2+xt-\frac{2}{3}tx-\frac{2}{3}t^2.$$ よって $$\displaystyle k=x^2-y(x+t)=x^2-\left(x^2+xt-\frac{2}{3}tx-\frac{2}{3}t^2\right) =-\frac{1}{3}tx+\frac{2}{3}t^2.$$ ($\dagger$)より $k=-1$ であるから， $$\displaystyle -\frac{1}{3}tx+\frac{2}{3}t^2=-1 \quad\text{より}\quad -tx+2t^2=-3 \quad\text{より}\quad tx=2t^2+3.$$ もし $t=0$ なら，この式は $0=3$ となり矛盾するので $t\neq 0$ である（このとき($\ddagger$)より $y=x$ となり，$k=x^2-x\cdot x-0=0\neq -1$ となることからも $t=0$ は不適と分かる）。 $t\neq 0$ のとき $$\displaystyle x=\frac{2t^2+3}{t}=2t+\frac{3}{t}.$$ これを ($\ddagger$) に代入して $$\displaystyle y=x-\frac{2}{3}t=2t+\frac{3}{t}-\frac{2}{3}t=\frac{4}{3}t+\frac{3}{t}.$$

（検算：$\displaystyle x=2t+\dfrac3t,\ y=\dfrac43t+\dfrac3t$ を $x^2-xy-ty$ に代入すると，$t^2$ の項・定数項・$1/t^2$ の項がすべて打ち消し合い，$x^2-xy-ty=-1$ となることが直接展開で確認できる。）

したがって $$\displaystyle x=2t+\frac{3}{t},\qquad y=\frac{4}{3}t+\frac{3}{t}\qquad(t\neq 0,\ t\ \text{は実数}).$$

(4) の解答

(3)の結果と $x,y,t$ が整数であることを用いる。$t$ は $0$ でない整数。 $$\displaystyle x=2t+\frac{3}{t}$$ が整数であるためには，$2t$ は整数だから $\displaystyle \dfrac{3}{t}$ が整数であることが必要十分，すなわち $t$ は $3$ の約数である。よって $$t=1,-1,3,-3\text{ のいずれか}.$$ さらに $$\displaystyle y=\frac{4}{3}t+\frac{3}{t}$$ が整数であることも必要なので，$t=1,-1,3,-3$ の各場合を調べる。

$$\displaystyle \begin{array}{c|c|c} t & x=2t+3/t & y=\tfrac{4}{3}t+3/t\\\hline 1 & 5 & 4/3+3=13/3\ (\text{整数でない})\\ -1 & -5 & -4/3-3=-13/3\ (\text{整数でない})\\ 3 & 2\cdot3+1=7 & 4+1=5\ (\text{整数})\\ -3 & -6-1=-7 & -4-1=-5\ (\text{整数}) \end{array}$$

よって整数解を与えるのは $t=3$（このとき $x=7,\ y=5$）と $t=-3$（このとき $x=-7,\ y=-5$）の2つに限る。

$t=3,\ x=7,\ y=5$ のとき $$A=\begin{pmatrix}7&5\\-3-7&-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&5\\-10&-7\end{pmatrix}.$$ 検算：$A^2=\begin{pmatrix}49-50&35-35\\-70+70&-50+49\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-E\neq E$，$A^4=(-E)^2=E$ で条件を満たす。また $\det A=7\cdot(-7)-5\cdot(-10)=-49+50=1=-k$ と整合し（$k=-1$），$3x-3y-2t=21-15-6=0$ も成り立つ。

$t=-3,\ x=-7,\ y=-5$ のとき $$A=\begin{pmatrix}-7&-5\\3+7&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7&-5\\10&7\end{pmatrix}.$$ 同様に $A^2=-E\neq E$，$A^4=E$ であり，条件をすべて満たす。

以上より，求める行列 $A$ は $$A=\begin{pmatrix}7&5\\-10&-7\end{pmatrix}\quad\text{または}\quad A=\begin{pmatrix}-7&-5\\10&7\end{pmatrix}$$ の2つである。