1九州大学 2013年 数学 第1問解答・解説

まず交点 $P$ を求める。$C_1:\,y=\sqrt{x}\ (x\ge 0)$ と $\displaystyle C_2:\,y=\dfrac{a^{3}}{x}\ (x>0)$ の交点では $\displaystyle \sqrt{x}=\dfrac{a^{3}}{x}$（$x>0$）。両辺に $x$ を掛けて $x\sqrt{x}=a^{3}$，すなわち $x^{3/2}=a^{3}$。両辺を$\displaystyle \tfrac23$乗して $x=a^{2}$。このとき $y=\sqrt{a^{2}}=a$（$a>1>0$）。よって $$P(a^{2},\,a).$$

(1)　 $C_1:y=\sqrt{x}$ の導関数は $\displaystyle y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ であり，$x=a^{2}$ における値は $\displaystyle y'=\dfrac{1}{2a}$。したがって接線 $l_1$ は $$\displaystyle y-a=\frac{1}{2a}(x-a^{2})\quad\text{すなわち}\quad l_1:\ y=\frac{1}{2a}x+\frac{a}{2}.$$

直線 $l_1$ と曲線 $C_1$ の差を計算すると，$x\ge 0$ で $$\displaystyle \left(\frac{1}{2a}x+\frac{a}{2}\right)-\sqrt{x}=\frac{1}{2a}\bigl(x-2a\sqrt{x}+a^{2}\bigr)=\frac{1}{2a}\bigl(\sqrt{x}-a\bigr)^{2}\ge 0,$$ であり，等号は $\sqrt{x}=a$，すなわち $x=a^{2}$（点 $P$）のときに限る。よって $l_1$ は接点 $P$ 以外では常に $C_1$ の上側にある。また $x=0$ では $C_1$ は $y=0$，$l_1$ は $\displaystyle y=\dfrac{a}{2}>0$ であるから，曲線 $C_1$・$y$軸・直線 $l_1$ はちょうど一つの有界な領域を囲み，その面積は $$\displaystyle S=\int_{0}^{a^{2}}\left\{\left(\frac{1}{2a}x+\frac{a}{2}\right)-\sqrt{x}\right\}dx.$$ 各項を計算すると $$\displaystyle \int_{0}^{a^{2}}\frac{1}{2a}x\,dx=\frac{1}{4a}\Bigl[x^{2}\Bigr]_{0}^{a^{2}}=\frac{a^{4}}{4a}=\frac{a^{3}}{4},\qquad \int_{0}^{a^{2}}\frac{a}{2}\,dx=\frac{a}{2}\cdot a^{2}=\frac{a^{3}}{2},$$ $$\displaystyle \int_{0}^{a^{2}}\sqrt{x}\,dx=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{a^{2}}=\frac{2}{3}a^{3}.$$ ゆえに $$\displaystyle S=\frac{a^{3}}{4}+\frac{a^{3}}{2}-\frac{2}{3}a^{3}=\left(\frac{3}{12}+\frac{6}{12}-\frac{8}{12}\right)a^{3}=\frac{a^{3}}{12}.$$ （検算：$a=2$ とすると $S=8/12=2/3$。被積分関数 $\displaystyle \tfrac{1}{2a}(\sqrt{x}-a)^{2}\ge 0$ であることから面積が正であることとも整合する。）

$$\displaystyle \boxed{S=\dfrac{a^{3}}{12}}$$

(2)　 $\displaystyle C_2:y=\dfrac{a^{3}}{x}=a^{3}x^{-1}$ の導関数は $\displaystyle y'=-a^{3}x^{-2}=-\dfrac{a^{3}}{x^{2}}$。$x=a^{2}$ における値は $$\displaystyle y'=-\frac{a^{3}}{a^{4}}=-\frac{1}{a}.$$ よって点 $P$ における $C_2$ の接線の傾きは $\displaystyle m_2=-\dfrac{1}{a}$，一方 $l_1$ の傾きは $\displaystyle m_1=\dfrac{1}{2a}$ である。

2直線が $x$ 軸の正方向となす角をそれぞれ $\alpha,\beta$（$\tan\alpha=m_1$，$\tan\beta=m_2$）とすると，加法定理（正接の差の公式）より2直線のなす角 $\theta(a)$（$0<\theta(a)<\pi/2$）について $$\displaystyle \tan\theta(a)=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|.$$ 分子は $$\displaystyle m_2-m_1=-\frac{1}{a}-\frac{1}{2a}=-\frac{3}{2a},$$ 分母は $$\displaystyle 1+m_1m_2=1+\left(\frac{1}{2a}\right)\left(-\frac{1}{a}\right)=1-\frac{1}{2a^{2}}=\frac{2a^{2}-1}{2a^{2}}.$$ $a>1$ より $2a^{2}-1>1>0$ であるから分母は正であり， $$\displaystyle \tan\theta(a)=\frac{3/(2a)}{(2a^{2}-1)/(2a^{2})}=\frac{3}{2a}\cdot\frac{2a^{2}}{2a^{2}-1}=\frac{3a}{2a^{2}-1}\ (>0),$$ これは $0<\theta(a)<\pi/2$ と整合する。

$\displaystyle \sin\theta(a)=\dfrac{\tan\theta(a)}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta(a)}}$ であるから $$\displaystyle a\sin\theta(a)=\frac{a\tan\theta(a)}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta(a)}}=\frac{\dfrac{3a^{2}}{2a^{2}-1}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{3a}{2a^{2}-1}\right)^{2}}}.$$ $a\to\infty$ のとき， $$\displaystyle \frac{3a^{2}}{2a^{2}-1}=\frac{3}{2-\dfrac{1}{a^{2}}}\ \longrightarrow\ \frac{3}{2},\qquad \tan\theta(a)=\frac{3a}{2a^{2}-1}\ \longrightarrow\ 0\ \quad\text{ならば}\quad\ \sqrt{1+\tan^{2}\theta(a)}\ \longrightarrow\ 1.$$ したがって $$\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}a\sin\theta(a)=\frac{3/2}{1}=\frac{3}{2}.$$ （検算：例えば $a=100$ のとき $\displaystyle \tan\theta(a)=\dfrac{300}{19999}\approx0.015001$ で $\theta(a)$ は微小なので $\sin\theta(a)\approx\tan\theta(a)$，よって $a\sin\theta(a)\approx100\times0.0149993\approx1.4999$ であり，極限値 $3/2=1.5$ に近づくことと整合する。）

$$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{a\to\infty}a\sin\theta(a)=\frac{3}{2}}$$