7信州大学 2013年 数学 第7問解答・解説

(1) $y=e^x$ の導関数は $y'=e^x$ なので、$P(p,e^p)$ での接線の傾きは $e^p$ である。したがって $$\ell:\ y-e^p=e^p(x-p),\qquad y=e^p(x-p+1).$$ 法線の傾きは $-e^{-p}$ であるから $$n:\ y-e^p=-e^{-p}(x-p),\qquad y=e^p-e^{-p}(x-p).$$

(2) $p>0$ とする。$e^x$ は下に凸（$(e^x)''=e^x>0$）であり、$0\le x\le p$ の範囲で曲線は接線 $\ell$ より上にある。よって $$\displaystyle \begin{aligned} S(p) &=\int_0^p\{e^x-e^p(x-p+1)\}\,dx\ &=e^p-1-e^p\left(p-\frac{p^2}{2}\right) =e^p\left(1-p+\frac{p^2}{2}\right)-1. \end{aligned}$$ また、$n(x)-e^x$ は $x=p$ で $0$、その導関数は $-e^{-p}-e^x<0$ なので、$0\le x<p$ では法線が曲線より上にある。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} T(p) &=\int_0^p\{e^p-e^{-p}(x-p)-e^x\}\,dx\ &=p e^p+\frac{p^2}{2}e^{-p}-(e^p-1) =(p-1)e^p+1+\frac{p^2}{2}e^{-p}. \end{aligned}$$ ゆえに $$\displaystyle \frac{pT(p)}{S(p)} =\frac{p\left((p-1)+\frac{p^2}{2}e^{-2p}+e^{-p}\right)} {1-p+\frac{p^2}{2}-e^{-p}}.$$ 分子・分母をそれぞれ $p^2$ で割ると、分子は $\displaystyle \frac{p-1}{p}+\frac p2e^{-2p}+\frac{e^{-p}}p\to1$、分母は $\displaystyle \frac12-\frac1p+\frac1{p^2}-\frac{e^{-p}}{p^2}\to\frac12$ である。したがって $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{p\to\infty}\frac{pT(p)}{S(p)}=2}.$$