6信州大学 2013年 数学 第6問解答・解説

接点の $x$ 座標を $t$ とおく。放物線上の点は $(t,a-t^2)$ で、接線の傾きは $-2t$ だから、 $$y-(a-t^2)=-2t(x-t),\qquad y=a+t^2-2tx.$$ 直線を $2tx+y-(a+t^2)=0$ と書くと、原点からの距離は $$\displaystyle d(t)=\frac{|a+t^2|}{\sqrt{4t^2+1}}.$$ $u=t^2\ge0$ とおけば、距離の二乗は $$\displaystyle h(u)=d^2=\frac{(a+u)^2}{4u+1}.$$ まず $a\le0$ なら $u=-a\ge0$ を選べて $h=0$ となる。したがって最小距離は $0$。このとき $t=\pm\sqrt{-a}$ なので、接線は $y=-2tx$（$a=0$ では $t=0$ の一本 $y=0$）である。

次に $a>0$ とする。微分すると $$\displaystyle h'(u)=\frac{2(a+u)(2u+1-2a)}{(4u+1)^2}.$$ 分母と $a+u$ は正だから、増減は $2u+1-2a$ で決まる。$\displaystyle 0<a\le\tfrac12$ では $u\ge0$ の全域で $h'(u)\ge0$。よって最小は $u=0$、すなわち $t=0$ の接線 $y=a$ で、距離は $a$。

$\displaystyle a>\tfrac12$ では $\displaystyle u=a-\tfrac12\ge0$ の手前で減少し、その後増加するため、ここが最小点である。代入すると $$\displaystyle h\!\left(a-\tfrac12\right)=\frac{(2a-\tfrac12)^2}{4a-1}=a-\tfrac14,$$ したがって最小距離は $\displaystyle \sqrt{a-\tfrac14}$。対応する $\displaystyle t=\pm\sqrt{a-\tfrac12}$ を接線式へ戻すと $$\displaystyle y=2a-\tfrac12\pm2\sqrt{a-\tfrac12}\,x.$$ 境界 $\displaystyle a=\tfrac12$ は前の区分に含まれ、両区分の距離も一致する。

答え

- $a\le0$: $t=\pm\sqrt{-a}$ における接線 $y=-2tx$（$a=0$ は $y=0$）、最小距離 $0$。 - $\displaystyle 0<a\le\frac12$: 接線 $y=a$、最小距離 $a$。 - $\displaystyle a>\frac12$: 接線 $\displaystyle y=2a-\frac12\pm2\sqrt{a-\frac12}x$、最小距離 $\displaystyle \sqrt{a-\frac14}$。