5信州大学 2013年 数学 第5問解答・解説

・ $$\displaystyle A=\begin{pmatrix}-\frac52&2\\-\frac12&0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{u}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$ とおく。直接計算すると $$\displaystyle A\mathbf{u}=-2\mathbf{u},\qquad A\mathbf{v}=-\frac12\mathbf{v}.$$ $\mathbf{u},\mathbf{v}$ は一次独立なので、ある実数 $a,b$ を用いて $$\displaystyle \begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} =a\mathbf{u}+b\mathbf{v},\qquad a=\frac{p-q}{3},\quad b=\frac{4q-p}{3}$$ と一意に表せる。上の二つの等式を繰り返し使えば $$\displaystyle \begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix} =a(-2)^n\mathbf{u}+b\left(-\frac12\right)^n\mathbf{v},$$ したがって $$\displaystyle x_n=4a(-2)^n+b\left(-\frac12\right)^n,\qquad y_n=a(-2)^n+b\left(-\frac12\right)^n.$$ $a\ne0$ なら $$\displaystyle \frac{x_n}{(-2)^n}=4a+b\left(\frac14\right)^n\longrightarrow4a\ne0$$ なので $x_n$ は $0$ に収束しない。一方、$a=0$ なら $\displaystyle x_n=y_n=b(-\frac12)^n\longrightarrow0$。ゆえに両方が $0$ に収束する条件は $a=0$、すなわち $p=q$。

・ $p=q\ne0$ なら $a=0,\ b=p\ne0$ なので、すべての $n$ で $x_n=y_n\ne0$ となり $$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}=1.$$ $p\ne q$ なら $a\ne0$ であり、 $$\displaystyle \frac{y_n}{x_n} =\frac{a+b(1/4)^n}{4a+b(1/4)^n} \longrightarrow\frac14.$$ 分母は $4a\ne0$ に収束するため十分大きい $n$ で $x_n\ne0$ であり、この極限は定義される。したがって答えは $p=q\ne0$ のとき $1$、$p\ne q$ のとき $\displaystyle \frac14$ である。

与えられた行列が作用する二つの一次独立なベクトルを直接計算し、その反復を用いて各成分の式を得る。(1)では増大する項が消える条件を判定する。(2)ではその項で分子・分母を割り、各場合の極限を求める。