1山口大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1) 行列と列ベクトルの積を成分で書くと、$(2+3y,\ 3+5y)=(x,xy)$。よって $x=2+3y$、$3+5y=xy=(2+3y)y$。整理して $y^2-y-1=0$ なので $y=(1\pm\sqrt{5})/2$。$y_1<y_2$ より $y_1=(1-\sqrt{5})/2$、$y_2=(1+\sqrt{5})/2$。$x=2+3y$ を代入して $x_1=(7-3\sqrt{5})/2$、$x_2=(7+3\sqrt{5})/2$。

(2) 2成分を比較すると $\alpha+\beta=2$、$\alpha y_1+\beta y_2=2$。$\beta=2-\alpha$ を代入し、$\alpha=2(y_2-1)/(y_2-y_1)=1-1/\sqrt{5}$、$\beta=1+1/\sqrt{5}$。

(3) $A$ を問題文の行列、$v_i=(1,y_i)$ とおく。(1)より $Av_i=x_iv_i$、(2)より $(2,2)=\alpha v_1+\beta v_2$。したがって $A^n(2,2)=\alpha x_1^n v_1+\beta x_2^n v_2$。これは $Av_i=x_iv_i$ を繰り返し用いることで従い、一般の対角化定理は不要である。

$x_1>0$ は $7>3\sqrt{5}$（両辺正で二乗すると $49>45$）から分かる。また $x_2>x_1$、$\beta>0$。$r=x_1/x_2$ とおけば $0<r<1$ で、$b_n/a_n=(\alpha y_1r^n+\beta y_2)/(\alpha r^n+\beta)$。$r^n\to0$ より極限は $y_2=(1+\sqrt{5})/2$。

(1) 左辺の行列とベクトルの積は $(2+3y,\,3+5y)$ であり、右辺は $(x,xy)$ である。よって $x=2+3y$、$3+5y=xy=(2+3y)y$。整理すると $y^2-y-1=0$ なので $y=(1\pm\sqrt5)/2$。$y_1<y_2$より、$y_1=(1-\sqrt5)/2$、$y_2=(1+\sqrt5)/2$。$x=2+3y$を代入して$x_1=(7-3\sqrt5)/2$、$x_2=(7+3\sqrt5)/2$。

(2) 2成分を比較すると $\alpha+\beta=2$、$\alpha y_1+\beta y_2=2$。$\beta=2-\alpha$を代入し、$\alpha=2(y_2-1)/(y_2-y_1)=1-1/\sqrt5$、$\beta=1+1/\sqrt5$。

(3) $A$を問題文の行列、$v_i=(1,y_i)$とおく。(1)より$Av_i=x_iv_i$、(2)より$(2,2)=\alpha v_1+\beta v_2$。したがって$A^n(2,2)=\alpha x_1^n v_1+\beta x_2^n v_2$。これは$Av_i=x_iv_i$を繰り返し用いることで従い、一般の対角化定理は不要である。

$x_1>0$は$7>3\sqrt5$（両辺正で二乗すると$49>45$）から分かる。また$x_2>x_1$、$\beta>0$。$r=x_1/x_2$とおけば$0<r<1$で、$\displaystyle \frac{b_n}{a_n}=\frac{\alpha y_1r^n+\beta y_2}{\alpha r^n+\beta}$。$r^n\to0$より極限は$y_2=(1+\sqrt5)/2$。