4金沢大学 2006年 数学 第4問解答・解説

(1) 等式 $AX=XD$ の両辺を計算すると $$\begin{pmatrix}2a+2&a+2\\ b-2&b-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2c&-2c\\ c&-2c\end{pmatrix}.$$ 従って $c=a+1$, $a+2=-2c$, $b=c+2$, $b-1=-2c$。これを解いて $$\displaystyle a=-\frac43,\qquad b=\frac53,\qquad c=-\frac13.$$

(2) $\det X=1$ で $X^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$。$AX=XD$ より帰納法で $A^nX=XD^n$、従って $A^n=XD^nX^{-1}$。ここで $\displaystyle r_n=(-\frac13)^n$, $\displaystyle q_n=(\frac23)^n$ とすれば $$A^n=\begin{pmatrix}2r_n-q_n&-2r_n+2q_n\\r_n-q_n&-r_n+2q_n\end{pmatrix}.$$

(3) 定義から $x_n=s_n-u_n=r_n$, $y_n=t_n-w_n=-r_n$。よって $P_n=(r_n,r_n)$, $Q_n=(r_{n+1},-r_{n+1})=(-r_n/3,r_n/3)$。$|r_n|=3^{-n}$ であり、$r_n<0$ の場合は $r_n>0$ の三角形を原点について点対称にしたものなので、回転体の体積は同じである。

まず $r_n=1$ の単位三角形 $O(0,0),P(1,1),Q(-1/3,1/3)$ を考える。高さ $0\le u\le1/2$ の水平断面は回転後に半径 $u$ の円板となる。高さ $1/2\le u\le1$ では辺 $PQ$ の式が $x=2u-1$ だから、回転後の断面は外半径 $u$、内半径 $2u-1$ の円環である。従って単位三角形による体積は $$\displaystyle \pi\int_0^{1/2}u^2\,du+\pi\int_{1/2}^1\left(u^2-(2u-1)^2\right)du=\frac\pi6.$$ 実際の三角形は長さ比 $3^{-n}$ の相似拡大なので体積は $\displaystyle V_n=\frac\pi6\,3^{-3n}=\frac\pi{6\cdot27^n}$。したがって $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}V_n=\frac\pi6\cdot\frac{1/27}{1-1/27}=\frac\pi{156}.$$

(1) AXとXDを成分比較して連立方程式を解く。(2) $AX=XD$から$A^nX=XD^n$を帰納的に得て、X^{-1}を掛ければ明示式が出る。(3) 行列成分差から点P,Qを得る。nの偶奇で三角形は原点反転するだけなので、単位三角形のy軸回転体を断面積で積分し、相似比 $3^{-n}$の3乗で各体積を求める。体積列は公比 $\displaystyle \frac1{27}$の等比級数となる。