3熊本大学 2008年 数学 第3問解答・解説

直線$\ell$上の点を$(x,2x+1)$とおくと、その点の移動後の座標$(x',y')$は $$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix}x\\2x+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2(1+a)x+a\\(b+2c)x+c\end{pmatrix}$$ である。移動後も$\ell$上にあるから、すべての実数$x$について$y'=2x'+1$が成り立つ。したがって $$(b+2c)x+c=4(1+a)x+2a+1$$ であり、係数を比較して$b+2c=4(1+a)$、$c=2a+1$を得る。よって $$b=4(1+a)-2(2a+1)=2.$$ したがって、(1)の答えは$b=2,\ c=2a+1$である。

(2) 点$P=(x,2x+1)$が移動によって自身に移るための条件は、第一座標について$x'=x$となることである。この条件は $$2(1+a)x+a=x\quad\text{すなわち}\quad (1+2a)x=-a$$ である。$\displaystyle a\ne-\frac12$ならば$1+2a\ne0$なので、$\displaystyle x=-\frac{a}{1+2a}$と定められる。このとき $$\displaystyle y=2x+1=-\frac{2a}{1+2a}+1=\frac{1}{1+2a}.$$ この点の移動後の第一座標は$x$であり、移動後の点は$\ell$上にあるので第二座標も$2x+1=y$である。ゆえに、この$P$は自身に移る。

(3) すべての点$Q=(x,2x+1)$が自身とは異なる点に移るためには、固定点の条件$(1+2a)x=-a$が実数$x$について解をもたないことが必要十分である。一次方程式が解をもたないのは、左辺の係数が$0$で定数項が$0$でない場合に限るから、$1+2a=0$かつ$a\ne0$である。よって$\displaystyle a=-\frac12$であり、(1)の関係から$c=2a+1=0$となる。このとき$\displaystyle x'=x-\frac12$なので、確かにどの$Q$も自身とは異なる点に移る。