5鹿児島大学 2012年 数学 第5問解答・解説

原本では5−1、5−2、5−3、5−4の4問から一つを選ぶ指示である。検算のため以下に各問の解を示す。受験答案ではこのうち一問を選ぶ。

5−1. 行列

(1) $\displaystyle A\binom{t}{1}=(t-2,t+4)^T$ なので、与えられた形の等式を満たす条件は $t-2=\lambda t$、$t+4=\lambda$。これより $$t-2=t(t+4)\quad\text{と同値な式は}\quad(t+1)(t+2)=0.$$ $(t,\lambda)=(-1,3),(-2,2)$ である。$\alpha<\beta$ から $$\alpha=2,\quad\beta=3,\quad p=-2,\quad q=-1.$$

(2) $\displaystyle A\binom{-2}{1}=2\binom{-2}{1}$ だから、繰り返し作用させて $$\displaystyle A^n\binom{p}{1}=2^n\binom{-2}{1}.$$

(3) もう一つのベクトルは $\displaystyle A\binom{-1}{1}=3\binom{-1}{1}$ を満たす。任意の $(x,y)^T$ は $$\displaystyle \binom{x}{y}=(-x-y)\binom{-2}{1}+(x+2y)\binom{-1}{1}$$ と表せる。よって $$\displaystyle A^n\binom{x}{y} =2^n(-x-y)\binom{-2}{1}+3^n(x+2y)\binom{-1}{1} =\binom{(2^{n+1}-3^n)x+(2^{n+1}-2\cdot3^n)y}{(3^n-2^n)x+(2\cdot3^n-2^n)y}.$$ $(x,y)=(1,0),(0,1)$ を代入して列を読むと $$A^n=\begin{pmatrix}2^{n+1}-3^n&2^{n+1}-2\cdot3^n\\3^n-2^n&2\cdot3^n-2^n\end{pmatrix}.$$

5−2. 極方程式と楕円

(1) $a>0$ かつ $2+\cos\theta>0$ より $r>0$。$x=r\cos\theta$ を使うと $2r+x=a$。$r^2=x^2+y^2$ より $$4(x^2+y^2)=(a-x)^2, \qquad 3x^2+4y^2+2ax-a^2=0.$$ さらに $$\displaystyle 3\left(x+\frac a3\right)^2+4y^2=\frac{4a^2}{3}$$ だから $-a\le x\le a/3<a$。従って $a-x>0$ であり、平方後も $2r=a-x$ が復元されて余分な枝はない。

(2) 曲線を右へ $a/3$ 平行移動するには元の式の $x$ を $x-a/3$ に置く。整理すると $$\displaystyle C:\quad3x^2+4y^2=\frac{4a^2}{3}.$$ $y=0$ とすると $x=\pm2a/3$。$B$ の $x$ 座標が正だから $$\displaystyle A=\left(-\frac{2a}{3},0\right),\qquad B=\left(\frac{2a}{3},0\right).$$

(3) $P=(\alpha,\beta)$ は $x$ 軸上にないから $\beta\ne0$。$H=(\alpha,0)$、$Q=(\alpha,-\beta)$ である。楕円上の式から $-2a/3<\alpha<2a/3$ となり、HはA,Bの間にある。したがって $$\displaystyle \mathrm{PH}\cdot\mathrm{QH}=\beta^2, \qquad \mathrm{AH}\cdot\mathrm{BH}=\frac{4a^2}{9}-\alpha^2>0.$$ また $$\displaystyle 4\beta^2=\frac{4a^2}{3}-3\alpha^2=3\left(\frac{4a^2}{9}-\alpha^2\right).$$ ゆえに求める比は常に $\displaystyle \dfrac34$ である。

5−3. 景品

各回は復元抽出なので独立で、番号ごとの確率は $1/n$。

(1) 番号1が一度も出ない確率は $((n-1)/n)^m$。余事象から $$\displaystyle 1-\left(\frac{n-1}{n}\right)^m.$$

(2) n回ですべての番号が出る並びは各番号が一回ずつ出る $n!$ 通り、全並びは $n^n$ 通り。従って全種類がそろわない確率は $$\displaystyle 1-\frac{n!}{n^n}.$$

(3) n+1回で全種類が出るなら、ただ一つの番号が2回、残りが各1回出る。重複番号の選び方はn通り、その位置は $\displaystyle \binom{n+1}{2}$ 通り、残りの並べ方は $(n-1)!$ 通りなので $$\displaystyle \frac{n\binom{n+1}{2}(n-1)!}{n^{n+1}}=\frac{(n+1)n!}{2n^n}.$$

5−4. 確率と信頼区間

(1) 密度の積分を1とおくと $$\displaystyle 1=k\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac{4k}{3},$$ よって $k=3/4$。$x(1-x^2)$ は奇関数なので、対称区間で積分して $E[X]=0$。

(2)(a) 標本平均の標準偏差は $10/\sqrt{100}=1$。標準正規分布の対称性と $P(Z>1.96)=0.025$ から中央95%区間の係数は1.96である。従って $$\bar X-1.96\le m\le\bar X+1.96,$$ 幅は $3.92$。

(b) 信頼度99%の幅は $2\cdot2.58\cdot10/\sqrt n$。これが3.92より小さい条件は $$\displaystyle \sqrt n>10\frac{2.58}{1.96}.$$ 問題文の近似値 $2.58/1.96\simeq1.32$ を使うと $n>174.24$、従って整数 $n$ は $n\ge175$。なお、表示された2.58と1.96の比を丸めず用いると閾値の二乗は $416025/2401\simeq173.272$ で最小整数は174となる。これは指定近似1.32を使った値との差である。