1鹿児島大学 2012年 数学 第1問解答・解説

(1) 5文字のうち2つのAは同じ文字なので、並べ方の総数は $$\displaystyle \frac{5!}{2!}=60$$ 通りである。2つのAが隣り合う並べ方では、AAを1つのまとまりとみなすと、AA、K、D、Iの4つを並べることになるから、その数は$4!=24$通りである。したがって、求める数は $$60-24=36$$ 通りである。

(2) $$x^2-9x+14=(x-2)(x-7)$$ である。よって、$(x-2)(x-7)\leqq 0$となるのは$2\leqq x\leqq 7$のときである。したがって、条件を満たさない整数は$2,3,4,5,6,7$である。このうち3の倍数である3と6を除くと、 $$x=2,4,5,7$$ を得る。

(3) $AB=m$、$AC=n$、$\angle BAC=\theta$とおく。D、Eはそれぞれ辺AB、ACの中点だから、$\displaystyle AD=\frac{m}{2}$、$\displaystyle AE=\frac{n}{2}$である。三角形ABEと三角形ACDに余弦定理を用いると、 $$\displaystyle BE^2=m^2+\left(\frac{n}{2}\right)^2-2m\cdot\frac{n}{2}\cos\theta,\qquad CD^2=n^2+\left(\frac{m}{2}\right)^2-2n\cdot\frac{m}{2}\cos\theta.$$ 条件$BE=CD$より$BE^2=CD^2$だから、共通項を消去して $$\displaystyle m^2+\frac{n^2}{4}=n^2+\frac{m^2}{4},\qquad m^2=n^2.$$ $m,n$は辺の長さなのでともに正であり、$m=n$である。したがって、$AB=AC$である。

順列では同一文字を区別しない全体から隣接するAAを一塊とする場合を引く。二次式は因数分解して整数解を列挙し、幾何では中点長を代入した余弦定理を比較して正の辺長を用いる。