4鹿児島大学 2012年 数学 第4問解答・解説

agraph{(1)} $0<x<1$ では $$f'(x)=n x^{n-1}e^{1-x}-x^n e^{1-x}=x^{n-1}e^{1-x}(n-x)>0$$ である。したがって$f$ はこの区間で増加し、$f(x)<f(1)=1$ となる。また、$x^n>0$ および$e^{1-x}>0$ より$f(x)>0$ である。よって$0<f(x)<1$。

agraph{(2)} 部分積分により $$\displaystyle I_1=\int_0^1 xe^{1-x}\,dx=\left[-xe^{1-x}\right]_0^1+\int_0^1e^{1-x}\,dx=-1+\left[-e^{1-x}\right]_0^1=e-2.$$ 同様に、自然数$n$ に対して $$\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1x^{n+1}e^{1-x}\,dx=\left[-x^{n+1}e^{1-x}\right]_0^1+(n+1)\int_0^1x^ne^{1-x}\,dx=-1+(n+1)I_n.$$ したがって$I_{n+1}=(n+1)I_n-1$。

agraph{(3)} (2)の関係式を$(n+1)!$ で割ると $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{I_{n+1}}{(n+1)!}=\frac{(n+1)I_n-1}{(n+1)!}=a_n-\frac1{(n+1)!},$$ よって$a_n-a_{n+1}=1/(n+1)!$ である。したがって、$n\ge 2$ では $$\displaystyle \sum\limits _{k=2}^{n}\frac1{k!}=\sum\limits _{j=1}^{n-1}(a_j-a_{j+1})=a_1-a_n.$$ $n=1$ のときも両辺は$0$ であり、等式は成り立つ。

agraph{(4)} (3)と$a_1=I_1=e-2$ より $$\displaystyle S_n=1+\sum\limits _{k=2}^{n}\frac1{k!}=1+a_1-a_n=e-1-a_n.$$ (1)より積分区間の内部で$0<x^ne^{1-x}<1$ だから、$0<I_n<1$。したがって$0<a_n<1/n!$ である。また$n\ge2$ なら$n!\ge 2^{n-1}$ なので$1/n!\le 1/2^{n-1}\to0$。ゆえに$a_n\to0$ となり、上の式から$\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}S_n=e-1$ を得る。

f(x)=x^n e^{1−x}は導関数x^{n−1}e^{1−x}(n−x)>0で増加し、0<f(x)<f(1)=1。部分積分で I_1=e−2、I_{n+1}=(n+1)I_n−1。a_n=I_n/n!とすると a_n−a_{n+1}=1/(n+1)! で、求める和は途中の項が打ち消し合いa_1−a_n。さらに0<a_n<1/n!→0からS_n→e−1。