4島根大学 2015年 数学 第4問解答・解説

(1) $f'(x)=(x+1)e^x$，$f''(x)=(x+2)e^x$。$e^x>0$ より，$x<-1$ で減少，$x>-1$ で増加し，$x=-1$ で最小値 $-1/e$ をとる。$x<-2$ で上に凸，$x>-2$ で下に凸，変曲点は $(-2,-2/e^2)$。原点を通り，$x\to-\infty$ で $f(x)\to0$（負の側），$x\to\infty$ で $f(x)\to\infty$ となる。概形は graph.png に示す。

(2) $f(x)$ の符号は $x$ の符号と等しい。部分積分により $\displaystyle \int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C$ だから，面積の和は $$\displaystyle -\int_{-1}^0xe^x\,dx+\int_0^1xe^x\,dx=-\left(-1+\frac2e\right)+1=2-\frac2e.$$

(3) $r=te^t$ とおく。(1)の増減と $t\le1/2$ から $$\displaystyle -\frac1e\le r\le\frac{\sqrt e}{2}.$$ $2<e<3<4$ より $-1< -1/e$ および $\sqrt e/2<1$ であり，$|r|<1$。漸化式から帰納的に $a_n=1+r+\cdots+r^{n-1}=(1-r^n)/(1-r)$。$r^n\to0$ なので $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=\frac1{1-te^t}.$$ よって指定されたすべての $t$ で収束する。