3島根大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) 内積の公式より $\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=3\cdot4\cos\frac{2\pi}{3}=-6$。したがって $$\left|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right|^2 =|\overrightarrow{OA}|^2+4|\overrightarrow{OB}|^2 +4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} =9+64-24=49.$$ 求める大きさは $7$。 (2) $\displaystyle \cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}4$ なので $$\displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}8,\qquad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac78.$$ よって $\displaystyle \sin4\alpha=2\sin2\alpha\cos2\alpha=\frac{7\sqrt{15}}{32}$。三角形の面積は $$\displaystyle \frac12\cdot3\cdot4\sin4\alpha=\frac{21\sqrt{15}}{16}.$$ (3) $\overrightarrow{OA}=(x,y)$ とおく。条件から $$\displaystyle \overrightarrow{OB}=\left(4-\frac43x,-\frac43y\right).$$ $|\overrightarrow{OA}|=3$ より $x^2+y^2=9$。また $|\overrightarrow{OB}|=4$ を使うと $$\displaystyle \left(4-\frac43x\right)^2+\frac{16}{9}y^2=16 \quad\text{すなわち}\quad (x-3)^2+y^2=9.$$ この式と $x^2+y^2=9$ の差をとると $\displaystyle x=\frac32$。したがって $\displaystyle y=\pm\frac{3\sqrt3}{2}$ であり、 $$\displaystyle \overrightarrow{OA}=\left(\frac32,\ \pm\frac{3\sqrt3}{2}\right),\qquad \overrightarrow{OB}=(2,\ \mp2\sqrt3).$$

(1) 余弦定理と同じ内積計算をベクトルの長さに適用し、平方してから平方根を取る。(2) sinαからcosαを求め、倍角公式でsin4αを計算する。(3) OAを(x,y)と置いて与式からOBを表し、両ベクトルの長さの条件を円の方程式として比較する。二つの条件から$\displaystyle x=\frac32,\quad y=\pm\frac{3\sqrt3}{2}$となり、OBの成分は符号が逆になる。