1宮崎大学 2015年 数学 第1問解答・解説

$\overrightarrow{OA}=\vec a$, $\overrightarrow{OB}=\vec b$ とする。$|\vec a|=2$, $|\vec b|=3$, $\vec a\cdot\vec b=2\cdot3\cos(\pi/3)=3$ である。

(1) $H$ は直線 $OB$ 上にあるので $\overrightarrow{OH}=t\vec b$ とおく。$AH\perp OB$ より $$\displaystyle (\vec a-t\vec b)\cdot\vec b=0, \quad 3-9t=0, \quad \boxed{\overrightarrow{OH}=\frac13\vec b}.$$

(2) $\overrightarrow{OP}=\vec p=x\vec a+y\vec b$ とおく。$P$ は直線 $AH$ 上にあり、 $AH\perp OB$ より $\vec p\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec b=3$。同様に $P$ は直線 $BI$ 上にあり、 $BI\perp OA$ より $\vec p\cdot\vec a=3$。従って $$4x+3y=3,\qquad 3x+9y=3,$$ これを解いて $x=2/3,y=1/9$。よって $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{OP}=\frac23\vec a+\frac19\vec b}.$$

(3) 上の内積値を使うと $$\displaystyle \begin{aligned} |OP|^2 &=\left|\frac23\vec a+\frac19\vec b\right|^2\\ &=\frac49|\vec a|^2+\frac1{81}|\vec b|^2+\frac4{27}(\vec a\cdot\vec b)\\ &=\frac{16}{9}+\frac19+\frac49=\frac73. \end{aligned}$$ 従って $$\displaystyle \boxed{|OP|=\sqrt{\frac73}=\frac{\sqrt{21}}3}.$$