5宮崎大学 2015年 数学 第5問解答・解説

袋の2個の0の球は別の球として区別する。したがって、3回の取り出し方は順序を含めて$(n+2)(n+1)n$通りである。

まず、3個目の球に書かれた数を$k$とする。$k=0$のときは、最初の2個の和が0以下でなければならないが、3個目に0の球を1個使っているため残る0の球は1個だけであり、該当する取り出し方はない。

$1\leq k\leq n$のとき、最初の2個がともに0の球となる取り出し方は2通りである。また、0の球と正の数$i$の球を取る場合は、$1\leq i\leq k-1$であり、0の球の選び方が2通り、順序が2通りあるから$4(k-1)$通りである。

正の数の球を2個取る場合、順序を区別した正の整数$(i,j)$で$i+j\leq k$を満たすものは$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{k-1}(k-i)=\dfrac{k(k-1)}{2}$通りある。このうち$i=j$となるものは、球は同じ数につき1個しかないので使えず、$2i\leq k$を満たす$i=1,\ldots,\lfloor k/2\rfloor$の$\lfloor k/2\rfloor$通りを除く。よって、3個目が$k$のときの有利な取り出し方は$$\displaystyle 2+4(k-1)+\frac{k(k-1)}{2}-\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor$$通りである。

(1) $n=3$では、$k=1,2,3$のそれぞれに対する有利な取り出し方は$2,6,12$通りで、合計20通りである。全体は$5\cdot4\cdot3=60$通りだから、$$\displaystyle P(3)=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}.$$

(2) $n=2m$とする。$k=1,\ldots,n$について有利な取り出し方を合計すると、$$\displaystyle \begin{aligned}N&=\sum\limits _{k=1}^{n}\left(2+4(k-1)+\frac{k(k-1)}{2}-\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor\right)\\&=2n^2+\frac{n(n-1)(n+1)}{6}-\sum\limits _{k=1}^{n}\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor.\end{aligned}$$$n=2m$なので、最後の和は$0,1,1,2,2,\ldots,m-1,m-1,m$の和であり、$m^2=n^2/4$である。したがって$$\displaystyle N=2n^2+\frac{n(n^2-1)}{6}-\frac{n^2}{4}=\frac{n(2n^2+21n-2)}{12}.$$全体の取り出し方は$(n+2)(n+1)n$通りなので、$$\displaystyle P(n)=\frac{N}{(n+2)(n+1)n}=\frac{2n^2+21n-2}{12(n+1)(n+2)}.$$