4宮崎大学 2015年 数学 第4問解答・解説

QC採用解説：MM-0aa3308b6ae6-Q4

$\displaystyle 0\le\theta\le\frac{\pi}{6}$, $r=\sqrt{2\cos2\theta}$ とおく。

(1) $y=(\tan\theta)x$ を円 $x^2+y^2=r^2$ に代入すると $$x^2\sec^2\theta=r^2.$$ 区間では $\cos\theta>0$ であり、$x>0$ の交点を選ぶので $$\boxed{f(\theta)=r\cos\theta=\sqrt{2\cos2\theta}\cos\theta,\qquad g(\theta)=r\sin\theta=\sqrt{2\cos2\theta}\sin\theta}.$$

(2) $u=\sin^2\theta$ とおくと $0\le u\le1/4$ であり、 $$\displaystyle g^2=2u(1-2u)=\frac14-4\left(u-\frac14\right)^2\le\frac14.$$ $g\ge0$ であり、等号は $u=1/4$, $\theta=\pi/6$ で成り立つから $$\displaystyle \boxed{\max g=\frac12}.$$

(3) $x=f(\theta)=r\cos\theta$, $y=g(\theta)=r\sin\theta$ とする。$rr'=-2\sin2\theta$ より $$\displaystyle -x'=\frac{\sin\theta(6\cos^2\theta-2\sin^2\theta)}{r}\ge0 \quad(0\le\theta\le\pi/6),$$ したがって $x$ は $\sqrt2$ から $f(\pi/6)=\sqrt3/2$ まで減少する。指定の縦線、曲線弧、$x$ 軸で囲まれる面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{\pi/6}y(-x')\,d\theta\\ &=\int_0^{\pi/6}\left(-rr'\sin\theta\cos\theta+r^2\sin^2\theta\right)d\theta\\ &=\int_0^{\pi/6}\left(6\sin^2\theta\cos^2\theta-2\sin^4\theta\right)d\theta\\ &=\int_0^{\pi/6}(\cos2\theta-\cos4\theta)d\theta\\ &=\boxed{\frac{\sqrt3}{8}}. \end{aligned}$$

独立検算と旧答案照合： 全3小問で独立結果と旧答案の式・結論は一致し、計算も正しい。方法は高校数学の三角関数、微分法、媒介変数曲線の面積積分で完結する。 単元： 数学II「図形と方程式・三角関数」、数学III「微分法・積分法」。 方法： 円と直線の連立、$u=\sin^2\theta$ の置換、最大化の平方完成、媒介変数による面積積分。 定理・公式： 三角関数の基本恒等式、積の微分、媒介変数表示曲線の面積。 テーマ： 角度で動く円周上の点の座標・高さの最大値・軌跡の面積。

実モデル識別情報は `UNVERIFIED`。