3大阪大学 2018年 数学 第3問解答・解説

$s=\sin t$ とおくと $0\le s\le1$ であり、 $$\displaystyle f(t)=1+2s-2s^2=\frac32-2\left(s-\frac12\right)^2,$$ となる。よって $s=1/2$ で $f$ は最大値 $3/2$ をとる。また $g(t)=2(1+s)\sqrt{1-s^2}$ であり、 $$g(t)^2=4h(s),\qquad h(s)=(1+s)^3(1-s),\qquad h'(s)=2(1+s)^2(1-2s).$$ $h$ は $s=1/2$ まで増加し、その後減少するので、$g$ の最大値は $2(3/2)(\sqrt3/2)=3\sqrt3/2$ である。

(2) 大小関係 $t$ が大きくなると $s=\sin t$ も必ず大きくなるので、$s_1<s_2$。$f$ の値が等しいことと上の二次式から $s_1+s_2=1$、したがって $s_1<1/2$、$s_2=1-s_1$ となる。展開すると $$h(s)-h(1-s)=(1-2s)^3.$$ したがって $g(t_1)^2-g(t_2)^2=4(1-2s_1)^3>0$。

(3) 囲まれた領域の面積 曲線上で $x=1$ となるのは $t=0,\pi/2$ のときだけで、そのとき $y=2,0$ であり、その間では $x>1$ となる。曲線と直線 $x=1$ は自己交差のない時計回りの境界をなす。グリーンの公式 $\displaystyle S=-\oint x\,dy$ により、 $$\displaystyle S=-\left(\int_0^{\pi/2} f(t)g'(t)\,dt+2\right).$$ ここで $g'=-2\sin t+2\cos2t$ だから、 $$\displaystyle \int_0^{\pi/2} f g'\,dt=\int_0^{\pi/2}\left(-4\sin^2t+2\sin t\cos2t+2\cos^22t\right)dt=-\frac\pi2-\frac23.$$ したがって $\displaystyle \boxed{S=\frac\pi2-\frac43}$。

Tags. Unit: trigonometry, differentiation, parametric curves, area. Method: substitution $s=\sin t$, completing the square, derivative sign, Green's area formula (equivalently $\displaystyle \int x\,dy$). Theme: maxima and non-self-intersection of a trig-parametrized curve.

Quality comparison and disposition Independent derivation was saved before consulting the prior answer. The prior final result agrees: $\displaystyle \max f=\frac32$; $\displaystyle \max g=\frac{3\sqrt3}{2}$; $g(t_1)^2-g(t_2)^2>0$; $\displaystyle S=\frac\pi2-\frac43$.. Old final answers and the two-branch area calculation agree with the independent derivation. The original accepted result files and their evidence metadata remain untouched. Prior actual-result evidence was not independently validated, so actual model status stays UNVERIFIED.　 Disposition: mathematics PASS; source eligible; display matched; adopt this independent high-school solution.