4大阪大学 2018年 数学 第4問解答・解説

内分比は $AP:PB=AQ:QC=1-s:s$、$FR:RD=FS:SE=1-t:t$ であるから、点の座標は $P=(1-s,0,s),\ Q=(0,1-s,s),\ R=(t-1,0,-t),\ S=(0,t-1,-t)$ である。　 (1) $u=s+t$ とおく。平面 $u(x+y)-(2-u)z=t-s$ を考える。P,Qについて左辺は $u(1-s)-(2-u)s=u-2s=t-s$ であり、R,Sについては $-u(1-t)+(2-u)t=2t-u=t-s$ である。したがって4点はこの平面上にある。　 (2) $L=((1-s)/2,(1-s)/2,s),\ M=(-(1-t)/2,-(1-t)/2,-t)$ だから、$\displaystyle LM^2=\dfrac{(2-s-t)^2}{2}+(s+t)^2=\dfrac{(2-u)^2}{2}+u^2=\dfrac32\left(u-\dfrac23\right)^2+\dfrac43$。ここで $0<u<2$ であり、$u=2/3$ は範囲内で実現する。よって $m=2/\sqrt3$ である。　 (3) 条件は $u=2/3$ である。$v=t-s$ とおけば $s=1/3-v/2,\ t=1/3+v/2$ で、$-2/3<v<2/3$。切断平面は $x+y-2z=3v/2$ となる。この平面は頂点A,D,E側と頂点B,C,F側を分け、正八面体の切り口は辺AB, AC, CD, DF, FE, EB上の6点を頂点とする六角形である。CD上の点を $T=(-r,1-r,0)$、BE上の点を $W=(1-r,-r,0)$ とおくと、平面上にある条件から $r=1/2-3v/4$ である。$-2/3<v<2/3$ より $0<r<1$。　 平面内の直交単位方向 $(1,-1,0)/\sqrt2$、$(-1,-1,-1)/\sqrt3$ に沿う座標を $\xi=(x-y)/\sqrt2,\ \eta=-(x+y+z)/\sqrt3$ とする。切り口の頂点を $P,Q,T,R,S,W$ の順に並べた座標は $((1-s)/\sqrt2,-1/\sqrt3),\ (-(1-s)/\sqrt2,-1/\sqrt3),\ (-1/\sqrt2,-\sqrt3v/2),\ (-(1-t)/\sqrt2,1/\sqrt3),\ ((1-t)/\sqrt2,1/\sqrt3),\ (1/\sqrt2,-\sqrt3v/2)$ である。これらは平面内の直交座標なので、靴紐公式から $2X=(20-9v^2)/(3\sqrt6)$、すなわち $X=(20-9v^2)/(6\sqrt6)$。よって最大となるのは $v=0$、すなわち $s=t=1/3$ のときであり、$\displaystyle X_{\max}=20/(6\sqrt6)=5\sqrt6/9$ である。