2大阪大学 2018年 数学 第2問解答・解説

$f(x)=x^4-ax^3+bx^2-ax+1$ とする。

(1) $c\le0$ ならば、$c<0$ では各項 $c^4,-ac^3,bc^2,-ac,1$ は正、また $c=0$ では $f(c)=1$ となる。いずれも $f(c)=0$ に反するので $c>0$。係数の対称性から $$c^4f(1/c)=f(c)=0,$$ ゆえに $f(1/c)=0$。$c\ne1$ なら因数定理より $(x-c)(x-1/c)$ が $f(x)$ を割り切る。 $c=1$ の場合は $f(1)=b-2a+2=0$ より $b=2a-2$。したがって $$f'(1)=4-4a+2b=0,$$ よって $x=1$ は重根であり、$(x-1)^2=(x-c)(x-1/c)$ が $f(x)$ を割り切る。

(2) 四つの実根 $s,t,u,v$ はすべて正である。(1)より根は逆数の組として現れる。定数項を比較すると $stuv=1$、また $x^3$ の係数を比較すると $s+t+u+v=a$。相加相乗平均より $$a=s+t+u+v\ge4\sqrt[4]{stuv}=4.$$

(3) 根を逆数の二組 $r,1/r$ と $q,1/q$ にまとめ、$p=r+1/r$、$q_0=q+1/q$ とおく（$r,q>0$）。すると $p,q_0\ge2$ で $$f(x)=(x^2-px+1)(x^2-q_0x+1).$$ 係数比較と $a=5$ から $$p+q_0=5,\qquad b=pq_0+2.$$ $2\le p,q_0\le3$ なので、$pq_0=p(5-p)$ は $6\le pq_0\le25/4$。従って $8\le b\le33/4$ であり、自然数 $b$ は $8$ のみ。 実際 $$f(x)=(x^2-2x+1)(x^2-3x+1)$$ と因数分解でき、各因子の根は実数だから $b=8$ は条件を満たす。